静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−6, 5, −3) 与 b = (−1, k, −3) 垂直的 k 的值。

a = (−6, 5, −3)b = (−1, k, −3)

k =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (0, −40, −20) N 作用在点 A(2, −2, 4)。坐标单位为米。求该力对点 O(−1, 2, 1) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (0, −40, −20) NA(2, −2, 4) mO(−1, 2, 1) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 25 kN 位于 4 mP₂ = 80 kN 位于 8 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 55 kN 位于 3.5 mw = 3 kN/m，从 3 到 4 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓C: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_BC = kN

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 5 kNAD = 1.6 mAB = 4 mAC = 1 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2.5 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 6 kNW_b = 0.5 kNAB = 4 mAC = 2.5 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 0 m25 kN @ 6 m10 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 180 mm，外高 H = 275 mm，壁厚均为 t = 20 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 180 mmH = 275 mmt = 20 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 120 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−6)·(−1) + 5·k + (−3)·(−3) = 0

15 + 5·k = 0

解出 k

k = −15/5 = −3

答案

k = −3

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = 200 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (2, −2, 4) − (−1, 2, 1) = (3, −4, 3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−20) − 3·(−40) = 200 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·0 − 3·(−20) = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−40) − (−4)·0 = −120 N·m

所求分量

M_x = 200 N·m

答案

M_x = 200 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = −43 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 80·8

R_B = 740/5 = 148 kN

竖向平衡

R_A = 25 + 80 − 148 = −43 kN

答案

R_A = −43 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 24.17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3.5 + 3·1·3.5

R_B = 203/6 = 33.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 33.83 = 24.17 kN

答案

R_A = 24.17 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 138.3 kN (T), BC: 138.3 kN (T), CD: 101.7 kN (T), DE: 101.7 kN (T), FG: 170 kN (C), GH: 170 kN (C), AF: 172.9 kN (C), HE: 127.1 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 39.58 kN (T), HC: 85.42 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −4.714 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·4 − 30·2 → C_y = 3.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 3.333 = 16.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.333/0.7071 = −4.714 kN

答案

F_BC = −4.714 kN (受压)

7.框架与机器

答案: A = 21.36 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 5·4/(0.53·1.6) = 23.58 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 20 kN （指向墙）

A_y = 5 − F_CD·sin α = −7.5 kN

模

A = √(20² + −7.5²) = 21.36 kN

答案

A = 21.36 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A = 10 kN

缆绳拉力

T = (6 + 0.5/2)/0.53 = 11.79 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 10 kN

A_y = 6 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(10² + 0.25²) = 10 kN

答案

A = 10 kN

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 30.5 kN, R₂ = 30.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 27.5, M_C = 49, M_D = 64.5 kN·m, M_E = 49, M_F = 27.5, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 64.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: F (x = 5 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 11.25 kN, R₂ = 33.75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −10, M_C = −8.75, M_D = −7.5, M_E = −16.25, M_F = −25 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −25 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 98.34 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 140 mm, h = 235 mm

A = BH − bh = 180·275 − 140·235 = 16600 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.605 × 10⁸ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.605 × 10⁸/16600) = 98.34 mm

答案

r = 98.34 mm

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 2.124 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (4800·115 + 1200·50)/6000 = 102 mm

上边缘: c = 130 − 102 = 28 mm

惯性矩

I = 160·30³/12 + 4800·13² + 12·100³/12 + 1200·52² = 5.416 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 120·5.416 × 10⁶/28 = 23.21 kN·m

下边缘: M = 40·5.416 × 10⁶/102 = 2.124 kN·m

控制值

M_allow = min = 2.124 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 2.124 kN·m

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