静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (2, 4, −3) 与 b = (−1, 6, −4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (2, 4, −3)b = (−1, 6, −4)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−2, −3, −5)、b = (−3, −1, 2) 和 c = (−4, −5, −4)。

a = (−2, −3, −5)b = (−3, −1, 2)c = (−4, −5, −4)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 20 kN 位于 2 mP₂ = 50 kN 位于 5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 35 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 5 到 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓F: 10 kN ↓F: 15 kN →G: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。C 处作用 15 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 15 kNAB = 6 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 0.8 m

C = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4.5 m，并由高度为 2 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 2 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 2 kNAB = 6 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 2 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 左侧紧邻处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5.5 mP₁ = 75 kN 位于 3 mP₂ = 40 kN 位于 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 6 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 140 mm，外高 H = 350 mm，壁厚均为 t = 6 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 140 mmH = 350 mmt = 6 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 29.86 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 2·(−1) + 4·6 + (−3)·(−4) = 34

模

|a| = √(2² + 4² + (−3)²) = 5.385

|b| = √((−1)² + 6² + (−4)²) = 7.28

相角

cos θ = 34/(5.385·7.28) = 0.8672

θ = arccos(0.8672) = 29.86°

答案

θ = 29.86°

2.向量：点积和叉积

答案: V = 23

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·(−4) − 2·(−5) = 14

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−4) − (−3)·(−4) = −20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·(−5) − (−1)·(−4) = 11

与 a 的点积

a·(b × c) = (−2)·14 + (−3)·(−20) + (−5)·11 = −23

V = |−23| = 23

答案

V = 23

3.梁的支座反力

答案: R_B = 36.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 50·5

R_B = 290/8 = 36.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 36.25 = 33.75 kN

答案

R_B = 36.25 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 31.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN，作用于 x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·1 + 2·1·5.5

R_B = 46/8 = 5.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 5.75 = 31.25 kN

答案

R_A = 31.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 6.563 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26.25 = 8.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26.25/0.9701 = −27.06 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−27.06)·0.2425 = 6.563 kN

答案

F_AC = 6.563 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 44.06 kN (T), BC: 46.87 kN (T), CD: 46.87 kN (T), DE: 23.44 kN (T), FG: 44.06 kN (C), GH: 23.44 kN (C), AF: 48.44 kN (C), HE: 39.06 kN (C), BF: 28.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 4.688 kN (C), DG: 39.06 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: C = 10.28 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 7.5 kN

T = 7.5·3/3.2 = 7.031 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 7.031 kN, C_y = −B_y = −7.5 kN

模

C = √(7.031² + 7.5²) = 10.28 kN

答案

C = 10.28 kN

8.框架与机器

答案: T = 1.8 kN

整个框架：对 A 取矩

B_y·6 = 2·4.5

B_y = 1.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.5·3 = T·2.5

T = 1.8 kN

答案

T = 1.8 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −71.25 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·3 + 40·5.5

R_B = 445/4 = 111.3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 111.3 = 3.75 kN

在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分

V_x = R_A − P₁ = 3.75 − 75 = −71.25 kN

答案

V_x = −71.25 kN

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 11.5 kN, R₂ = 61.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 5.5, M_C = −1, M_D = −19.5, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −50 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 124.1 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 128 mm, h = 338 mm

A = BH − bh = 140·350 − 128·338 = 5736 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 8.832 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(8.832 × 10⁷/5736) = 124.1 mm

答案

r = 124.1 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 97.07 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

腹板: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·270 + 4160·130)/7360 = 190.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·20³/12 + 3200·(270 − 190.9)² = 2.014 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·260³/12 + 4160·(130 − 190.9)² = 3.885 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.014 × 10⁷ + 3.885 × 10⁷ = 5.899 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 190.9 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·190.9/5.899 × 10⁷ = 97.07 MPa

答案

σ_底部 = 97.07 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics