静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−6, 0, −5) 与 b = (−3, 3, 0) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−6, 0, −5)b = (−3, 3, 0)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−20, −60, −50) N 作用在点 A(−2, −3, −3)。坐标单位为米。求该力对点 O(−3, −3, 1) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (−20, −60, −50) NA(−2, −3, −3) mO(−3, −3, 1) m

M_y = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 10 kN/m 减小到 B 处的零。距 A 为 5 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 20 kN 位于 9 mw = 5 kN/m，从 2 到 7 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 60 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 0.75 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.3 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 20 kNL = 5 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 0.75 mA 到 K 的水平距离 = 0.3 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 高 2 m，位于 A 右侧 1.2 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.3 m 处承受 10 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 2 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 10 kNQ = 2 kNL = 8 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.3 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 2 m25 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 6 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 20 kN 位于 6 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 140 mm，内径 d = 108 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 140 mmd = 108 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 5 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 57.1 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·(−3) + 0·3 + (−5)·0 = 18

模

|a| = √((−6)² + 0² + (−5)²) = 7.81

|b| = √((−3)² + 3² + 0²) = 4.243

相角

cos θ = 18/(7.81·4.243) = 0.5432

θ = arccos(0.5432) = 57.1°

答案

θ = 57.1°

2.向量：点积和叉积

答案: M_y = 130 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−2, −3, −3) − (−3, −3, 1) = (1, 0, −4) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 0·(−50) − (−4)·(−60) = −240 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·(−20) − 1·(−50) = 130 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·(−60) − 0·(−20) = −60 N·m

所求分量

M_y = 130 N·m

答案

M_y = 130 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 29.17 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = L/3 = 2 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 55·5

R_B = 55.83 kN

R_A = 85 − 55.83 = 29.17 kN

答案

R_A = 29.17 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 29.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·9 + 5·5·4.5

R_B = 292.5/10 = 29.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 29.25 = 15.75 kN

答案

R_B = 29.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −53.03 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·5 → C_y = 37.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 37.5 = 22.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37.5/0.7071 = −53.03 kN

答案

F_BC = −53.03 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40.83 kN (T), BC: 40.83 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 42.5 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 63.54 kN (C), HE: 53.12 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 30.21 kN (T), HC: 28.13 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_BC = 2.818 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(4.25² + 2²) = 4.697 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/4.697)·5 = 20·0.3

F_BC = 2.818 kN （压缩）

答案

F_BC = 2.818 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 0.975 kN

BC 的方向

BC = 7.088 m, cos = 0.9594, sin = 0.2822

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.2822·8 = 10·0.3 + 2·2

F_BC = 3.101 kN

水平平衡

A_x + 2 − 3.101·0.9594 = 0

A_x = 0.975 kN → |A_x| = 0.975 kN

答案

A_x = 0.975 kN

A_x 指向右。

9.剪力和弯矩

答案: C (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 30.83 kN, R₂ = 34.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 30.83, M_C = 61.67 kN·m, M_D = 52.5, M_E = 43.33, M_F = 34.17, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 61.67 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·6 + 3·10·5

R_B = 270/10 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 27 = 23 kN

在 x = 6 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 23·6 − 3·6·3 = 84 kN·m

答案

M_x = 84 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 44.2 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 6233 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.218 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.218 × 10⁷/6233) = 44.2 mm

答案

r = 44.2 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 182.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

腹板: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·105 + 800·50)/3200 = 91.25 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·10³/12 + 2400·(105 − 91.25)² = 473750 mm⁴

腹板: 8·100³/12 + 800·(50 − 91.25)² = 2.028 × 10⁶ mm⁴

I_x = 473750 + 2.028 × 10⁶ = 2.502 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 91.25 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·91.25/2.502 × 10⁶ = 182.4 MPa

答案

σ_底部 = 182.4 MPa

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