静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (6, −6, −1) 与 b = (−3, −3, 3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (6, −6, −1)b = (−3, −3, 3)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−60, −30, 60) N 作用在点 A(−4, 3, −2)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的大小 |M|。

F = (−60, −30, 60) NA(−4, 3, −2) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 7 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 70 kN 位于 3 mP₂ = 10 kN 位于 10 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 6 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 9 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 25 kN 位于 9 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 15 kN ↓G: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 25 kN ↓F: 40 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1.5 m。B 处悬挂 10 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 10 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 1.5 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 4 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 15 kNW_b = 3 kNAB = 3 mAC = 4 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP₁ = 20 kN 位于 1 mP₂ = 15 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 0 m45 kN @ 6 m15 kN @ 3 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 160 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 200 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 160 mmh = 200 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 100 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 93.87 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 6·(−3) + (−6)·(−3) + (−1)·3 = −3

模

|a| = √(6² + (−6)² + (−1)²) = 8.544

|b| = √((−3)² + (−3)² + 3²) = 5.196

相角

cos θ = −3/(8.544·5.196) = −0.06757

θ = arccos(−0.06757) = 93.87°

答案

θ = 93.87°

2.向量：点积和叉积

答案: |M| = 483.7 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−4, 3, −2) − (0, 0, 0) = (−4, 3, −2) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·60 − (−2)·(−30) = 120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·(−60) − (−4)·60 = 360 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·(−30) − 3·(−60) = 300 N·m

模

|M| = √(120² + 360² + 300²) = 483.7 N·m

答案

|M| = 483.7 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 35.71 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·7 = 70·3 + 10·10

R_B = 310/7 = 44.29 kN

竖向平衡

R_A = 70 + 10 − 44.29 = 35.71 kN

答案

R_A = 35.71 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 325 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = L/3 = 3.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 30·3.333 + 25·9 = 325 kN·m

答案

M_A = 325 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 11.67 kN (T), BC: 23.33 kN (T), CD: 23.33 kN (T), DE: 21.67 kN (T), FG: 11.67 kN (C), GH: 21.67 kN (C), AF: 14.58 kN (C), HE: 27.08 kN (C), BF: 8.75 kN (T), CG: 0, DH: 16.25 kN (T), BG: 14.58 kN (C), DG: 2.083 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 52.5 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 42.5 kN (T), FG: 72.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 102.5 kN (C), HE: 60.1 kN (C), BF: 32.5 kN (T), CG: 0, DH: 42.5 kN (T), BG: 10.61 kN (C), DG: 24.75 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: A = 20.62 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 10·3/(0.6·2) = 25 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 20 kN （指向墙）

A_y = 10 − F_CD·sin α = −5 kN

模

A = √(20² + −5²) = 20.62 kN

答案

A = 20.62 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: T = 20.63 kN

缆绳角

BC = √(3² + 4²) = 5 m, sin β = 0.8

对 A 取矩

T·0.8·3 = 15·3 + 3·1.5

T = 20.63 kN

答案

T = 20.63 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 21.56 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 15·2.5

R_B = 57.5/4 = 14.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 14.38 = 20.63 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 20.63·1 = 20.63 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1.5 = 14.38·1.5 = 21.56 kN·m

最大值

M_max = 21.56 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 21.56 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 44 kN, R₂ = 79 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −49, M_D = −59, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −90 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 76.92 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 160·14 = 2240 mm², y₁ = 7 mm

两肢: A₂ = 2·14·186 = 5208 mm², y₂ = 14 + 186/2 = 107 mm

形心

ȳ = (2240·7 + 5208·107)/7448 = 76.92 mm

答案

ȳ = 76.92 mm

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 7.492 kN·m

形心

ȳ = (3500·132.5 + 1680·60)/5180 = 109 mm

上边缘: c = 145 − 109 = 36.01 mm

惯性矩

I = 140·25³/12 + 3500·23.51² + 14·120³/12 + 1680·48.99² = 8.165 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 60·8.165 × 10⁶/36.01 = 13.6 kN·m

下边缘: M = 100·8.165 × 10⁶/109 = 7.492 kN·m

控制值

M_allow = min = 7.492 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 7.492 kN·m

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