静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求 a = (7, 5, −6) 与 b = (−2, 5, −1) 的点积 a·b。

a = (7, 5, −6)b = (−2, 5, −1)
a·b =
2.向量：点积和叉积困难
xyzrFOA

一个力 F = (−50, −30, 50) N 作用在点 A(1, 3, 3)。坐标单位为米。 求该力对 原点 O(0, 0, 0) 的力矩的大小 |M|。

F = (−50, −30, 50) NA(1, 3, 3) mO(0, 0, 0) m
|M| = N·m
3.梁的支座反力中等
P1​ = 60 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 6 mP1 = 60 kN 位于 2 mP2 = 55 kN 位于 5 m
RB = kN
4.梁的支座反力困难
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = ?RB​2 m6 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 10 mP = 45 kN 位于 8 mw = 5 kN/m，从 2 到 8 m
RA = kN
5.桁架：节点法中等
ABCDEFGH35 kN20 kN20 kN20 kN4 × 3 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓C: 20 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH35 kN35 kN20 kN15 kN4 × 4 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓F: 35 kN →G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
7.框架与机器中等
15 kN6 m1 m1 m2.25 mABCDEK

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m，顶部销钉 C 高 2 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 2.25 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 6 mC 的高度 = 2 mDE 的高度 = 1 mA 到 K 的水平距离 = 2.25 m
T = kN
8.框架与机器困难
4 kN2 kN5 m2 mABC

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 4 kNWb = 2 kNAB = 5 mAC = 2 m
T = kN
9.剪力和弯矩中等
P1​ = 50 kNP2​ = 55 kNABC3 m5 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP1 = 50 kN 位于 3 mP2 = 55 kN 位于 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
10.剪力和弯矩困难
w = 12 kN/mABC5 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
MB = kN·m
11.形心和惯性矩中等
1202001610x尺寸单位为 mm

对称工字形截面的翼缘宽 120 mm、厚 16 mm，总高度 200 mm，腹板厚 10 mm。 求其对水平形心轴 x 的惯性矩 Ix。

B = 120 mmH = 200 mmtf = 16 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
200 mm200 mm80 mm30 × 40xIx​ = ?

一块 200 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 200 mmh = 200 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 17

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 7·(−2) + 5·5 + (−6)·(−1) = (−14) + 25 + 6 = 17

答案

a·b = 17

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: |M| = 334.7 N·m

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (1, 3, 3) − (0, 0, 0) = (1, 3, 3) m

力矩 M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = 3·50 − 3·(−30) = 240 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = 3·(−50) − 1·50 = −200 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 1·(−30) − 3·(−50) = 120 N·m

模

|M| = √(240² + (−200)² + 120²) = 334.7 N·m

答案

|M| = 334.7 N·m
3.梁的支座反力

答案: RB = 65.83 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 60 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​2 m3 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 55·5
RB = 395/6 = 65.83 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 65.83 = 49.17 kN

答案

RB = 65.83 kN
4.梁的支座反力

答案: RA = 24 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​RB​2 m6 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·8 + 5·6·5
RB = 510/10 = 51 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 51 = 24 kN

答案

RA = 24 kN
5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 45.94 kN (T), BC: 45.94 kN (T), CD: 25.31 kN (T), DE: 25.31 kN (T), FG: 50.62 kN (C), GH: 50.62 kN (C), AF: 76.56 kN (C), HE: 42.19 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 7.813 kN (T), HC: 42.19 kN (T)

答案

零杆: DH
6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 48.75 kN (T), BC: 48.75 kN (T), CD: 56.25 kN (T), DE: 56.25 kN (T), FG: 62.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 19.45 kN (C), HE: 79.55 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 19.45 kN (T), HC: 8.839 kN (T)

答案

零杆: BF
7.框架与机器

答案: T = 16.88 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

By = 15·2.25/6 = 5.625 kN

腿 BC：对 C 取矩

5.625·3 = T·1
T = 16.88 kN

答案

T = 16.88 kN
8.框架与机器

答案: T = 13.46 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(5² + 2²) = 5.385 m, sin β = 0.3714

对 A 取矩

T·0.3714·5 = 4·5 + 2·2.5
T = 13.46 kN

答案

T = 13.46 kN
9.剪力和弯矩

答案: Mx = 52.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·8 = 50·3 + 55·10
RB = 700/8 = 87.5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 87.5 = 17.5 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·3 = 17.5·3 = 52.5 kN·m

答案

Mx = 52.5 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: MB = −13.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6.5 = 78 kN，作用于 x̄ = 3.25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·6.5·3.25
RB = 253.5/5 = 50.7 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 50.7 = 27.3 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。

MB = −w·a²/2 = −12·1.5²/2 = −13.5 kN·m

答案

MB = −13.5 kN·m
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 36.54 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。

hw = 200 − 2·16 = 168 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·200³ − 110·168³)/12
Ix = 3.654 × 10⁷ mm⁴ = 36.54 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 36.54 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 1200·80)/(40000 − 1200) = 100.6 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·−0.6186² = 133.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·40³/12 + 1200·−20.62² = 0.6701 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics