静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (20, 20, −10) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−1, 1, −2) 运动到点 B(−4, 0, 4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (20, 20, −10) NA(−1, 1, −2) mB(−4, 0, 4) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (0, −2, 3) 和 b = (−1, 2, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (0, −2, 3)b = (−1, 2, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 3 m 承受均布荷载 w，并在距墙 2.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mP = 30 kN 位于 2.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 3 m

M_A = kN·m

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 35 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN ↓H: 40 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 30° 角。B 处施加 100 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 100 Nθ = 30°

Q = N

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2 m，并由高度为 0.6 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 12 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 12 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 2 mDE 的高度 = 0.6 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 8 m15 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 50 kN 位于 1 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 300 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = −140 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−4, 0, 4) − (−1, 1, −2) = (−3, −1, 6) m

功

W = F·d = 20·(−3) + 20·(−1) + (−10)·6 = −140 J

答案

W = −140 J

负功：力主要与运动方向相反。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.4851

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−2) − 3·2 = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−1) − 0·(−2) = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·2 − (−2)·(−1) = −2

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−2)² + (−3)² + (−2)²) = 4.123

n̂ = −(−2, −3, −2)/4.123 = (0.4851, 0.7276, 0.4851)

n̂_x = 0.4851

答案

n̂_x = 0.4851

3.梁的支座反力

答案: M_A = 93 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 4·3 = 12 kN, x̄ = 1.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 30·2.5 + 12·1.5 = 93 kN·m

答案

M_A = 93 kN·m

4.梁的支座反力

答案: R_A = 10.63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·3 + 5·1·2.5

R_B = 117.5/4 = 29.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 29.38 = 10.63 kN

答案

R_A = 10.63 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 6.25 kN (T), BC: 12.5 kN (T), CD: 12.5 kN (T), DE: 18.75 kN (T), FG: 6.25 kN (C), GH: 18.75 kN (C), AF: 8.839 kN (C), HE: 26.52 kN (C), BF: 6.25 kN (T), CG: 0, DH: 6.25 kN (C), BG: 8.839 kN (C), DG: 8.839 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 60.83 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 69.17 kN (T), FG: 70.83 kN (C), GH: 79.17 kN (C), AF: 88.54 kN (C), HE: 86.46 kN (C), BF: 43.13 kN (T), CG: 0, DH: 11.88 kN (T), BG: 5.208 kN (C), DG: 5.208 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: Q = 86.6 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 30° = 100

F_link = 100 N

夹紧力

Q = F_link·cos 30° = 100/(2·tan 30°) = 86.6 N

答案

Q = 86.6 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 0.866 会无限增大。

8.框架与机器

答案: T = 8.571 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y·3.2 = 12·2

B_y = 7.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

7.5·1.6 = T·1.4

T = 8.571 kN

答案

T = 8.571 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 5.833 kN, R₂ = 19.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 11.67, M_C = 23.33, M_D = 35, M_E = 46.67 kN·m, M_F = 38.33, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 46.67 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 52 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 6·5·2.5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 25 = 55 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 55·1 − 6·1·0.5 = 52 kN·m

答案

M_x = 52 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 35 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

腹板: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·267.5 + 2080·130)/5080 = 211.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·15³/12 + 3000·(267.5 − 211.2)² = 9.565 × 10⁶ mm⁴

腹板: 8·260³/12 + 2080·(130 − 211.2)² = 2.543 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.565 × 10⁶ + 2.543 × 10⁷ = 3.5 × 10⁷ mm⁴ = 35 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 35 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 447.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (60000·150 − 800·210)/(60000 − 800) = 149.2 mm

完整的板关于 ȳ

200·300³/12 + 60000·0.8108² = 450 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·20³/12 + 800·60.81² = 2.985 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 447.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 447.1 × 10⁶ mm⁴

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