静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−2, −1, 4) 与 b = (3, 4, −1) 的点积 a·b。

a = (−2, −1, 4)b = (3, 4, −1)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (−1, −6, −2) 和 b = (3, 0, −6) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (−1, −6, −2)b = (3, 0, −6)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 30 kN 位于 2 mP₂ = 50 kN 位于 3.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 55 kN 位于 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 2 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 30 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 5° 角。B 处施加 200 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 200 Nθ = 5°

Q = N

8.框架与机器困难

一根重 1.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 6 kNW_b = 1.5 kNAB = 3 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 25 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mM₀ = 25 kN·m 顺时针，作用于 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 12 m35 kN @ 6 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 150 mm、厚 14 mm，总高度 500 mm，腹板厚 6 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 150 mmH = 500 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −14

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−2)·3 + (−1)·4 + 4·(−1) = (−6) + (−4) + (−4) = −14

答案

a·b = −14

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: A = 42

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·(−6) − (−2)·0 = 36

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·3 − (−1)·(−6) = −12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·0 − (−6)·3 = 18

面积

A = |a × b| = √(36² + (−12)² + 18²) = 42

答案

A = 42

3.梁的支座反力

答案: R_B = 47 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 50·3.5

R_B = 235/5 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 47 = 33 kN

答案

R_B = 47 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 19 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·4 + 5·2·1

R_B = 230/5 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 46 = 19 kN

答案

R_A = 19 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −8.975 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 → C_y = 3.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 3.333 = 16.67 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.333/0.3714 = −8.975 kN

答案

F_BC = −8.975 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −53.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·4 + 30·2 → C_y = 48 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 48 = −3 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48/0.8944 = −53.67 kN

答案

F_BC = −53.67 kN (受压)

7.框架与机器

答案: Q = 1143 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 5° = 200

F_link = 1147 N

夹紧力

Q = F_link·cos 5° = 200/(2·tan 5°) = 1143 N

答案

Q = 1143 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 5.715 会无限增大。

8.框架与机器

答案: A = 10.15 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (6 + 1.5/2)/0.5547 = 12.17 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 10.13 kN

A_y = 6 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN

模

A = √(10.13² + 0.75²) = 10.15 kN

答案

A = 10.15 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −8.333 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 25/6 = 4.167 kN (向上)

R_A = −R_B = −4.167 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −4.167·2 = −8.333 kN·m

答案

M_x = −8.333 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 21.25 kN, R₂ = 148.8 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 22.5, M_C = 5, M_D = −52.5, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −220 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 300.7 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 500 − 2·14 = 472 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·500³ − 144·472³)/12

I_x = 3.007 × 10⁸ mm⁴ = 300.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 300.7 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 57.65 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

腹板: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·205 + 2000·100)/3600 = 146.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·10³/12 + 1600·(205 − 146.7)² = 5.458 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·200³/12 + 2000·(100 − 146.7)² = 1.102 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.458 × 10⁶ + 1.102 × 10⁷ = 1.648 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 210 − 146.7 = 63.33 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·63.33/1.648 × 10⁷ = 57.65 MPa

答案

σ_顶部 = 57.65 MPa

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