静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (2, 4, −5) 与 b = (−3, −2, −5) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (2, 4, −5)b = (−3, −2, −5)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (6, −5, −4) 和 b = (4, −1, 2)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (6, −5, −4)b = (4, −1, 2)

(a × b)_z =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 15 kN 位于 1 mP₂ = 10 kN 位于 1.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 2.5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5.5 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 1 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 2.5 mAD = 6 mP = 55 kN 位于 5.5 mQ = 15 kN 位于 1 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 30 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 10 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 3 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.8 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 6 kNL = 5 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 3 mA 到 K 的水平距离 = 1.8 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 15 kNW_b = 0.5 kNAB = 3 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP₁ = 70 kN 位于 5 mP₂ = 20 kN 位于 6 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 50 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 190 mm、厚 20 mm，总高度 340 mm，腹板厚 10 mm。求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 S_x。

B = 190 mmH = 340 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 74.57 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 2·(−3) + 4·(−2) + (−5)·(−5) = 11

模

|a| = √(2² + 4² + (−5)²) = 6.708

|b| = √((−3)² + (−2)² + (−5)²) = 6.164

相角

cos θ = 11/(6.708·6.164) = 0.266

θ = arccos(0.266) = 74.57°

答案

θ = 74.57°

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 14

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·2 − (−4)·(−1) = −14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·4 − 6·2 = −28

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·(−1) − (−5)·4 = 14

所求分量

(a × b)_z = 14

答案

(a × b)_z = 14

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = 20 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1 + 10·1.5

R_B = 30/6 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 5 = 20 kN

答案

R_A = 20 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 34.64 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·3.5 = 55·3

R_D = 47.14 kN

V_C = 55 − 47.14 = 7.857 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 15 + 7.857 = 22.86 kN

M_A = 15·1 + 7.857·2.5 = 34.64 kN·m

答案

M_A = 34.64 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −24.04 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0.8321 = −24.04 kN

答案

F_AB = −24.04 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 3.333 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 − 10·4 → C_y = 3.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 3.333 = 26.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.333/0.7071 = −4.714 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4.714)·0.7071 = 3.333 kN

答案

F_AC = 3.333 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_BC = 3.055 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(2² + 2²) = 2.828 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/2.828)·5 = 6·1.8

F_BC = 3.055 kN （压缩）

答案

F_BC = 3.055 kN

8.框架与机器

答案: A = 22.88 kN

缆绳拉力

T = (15 + 0.5/2)/0.5547 = 27.49 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 22.88 kN

A_y = 15 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(22.88² + 0.25²) = 22.88 kN

答案

A = 22.88 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 156.3 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·5 + 20·6

R_B = 470/8 = 58.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 58.75 = 31.25 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·5 = 31.25·5 = 156.3 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·2 = 58.75·2 = 117.5 kN·m

最大值

M_max = 156.3 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 156.3 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 50.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·1 + 2·8·4

R_B = 114/8 = 14.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 14.25 = 51.75 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 51.75·1 − 2·1·0.5 = 50.75 kN·m

答案

M_x = 50.75 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: S_x = 1278 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 340 − 2·20 = 300 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·340³ − 180·300³)/12

I_x = 2.173 × 10⁸ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 170 mm

S_x = I/c = 2.173 × 10⁸/170

S_x = 1.278 × 10⁶ mm³ = 1278 × 10³ mm³

答案

S_x = 1278 × 10³ mm³

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 29.64 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

腹板: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·195 + 2520·90)/10920 = 170.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·30³/12 + 8400·(195 − 170.8)² = 5.562 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·180³/12 + 2520·(90 − 170.8)² = 2.324 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.562 × 10⁶ + 2.324 × 10⁷ = 2.881 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 170.8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·170.8/2.881 × 10⁷ = 29.64 MPa

答案

σ_底部 = 29.64 MPa

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