静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−5, 1, −3) 与 b = (−2, k, 2) 垂直的 k 的值。

a = (−5, 1, −3)b = (−2, k, 2)

k =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (10, −60, 30) N 作用在点 A(2, 2, −3)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (10, −60, 30) NA(2, 2, −3) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 35 kN 位于 2.5 mP₂ = 15 kN 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP = 40 kN 位于 3 mw = 10 kN/m，从 2 到 3 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 15 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 20° 角。B 处施加 500 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 500 Nθ = 20°

Q = N

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 6 m，B 高 2.5 m，位于 A 右侧 0.9 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.54 m 处承受 5 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 10 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 5 kNQ = 10 kNL = 6 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 0.9 mA 到 K 的水平距离 = 0.54 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 4.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 55 kN 位于 1.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 130 × 24 mm，腹板高 310 mm、厚 8 mm，下翼缘为 260 × 18 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 130 × 24 mm腹板: 8 × 310 mm下翼缘: 260 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −4

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积等于零

a·b = (−5)·(−2) + 1·k + (−3)·2 = 0

4 + 1·k = 0

解出 k

k = −4/1 = −4

答案

k = −4

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = −120 N·m

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (2, 2, −3) − (0, 0, 0) = (2, 2, −3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·30 − (−3)·(−60) = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·10 − 2·30 = −90 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·(−60) − 2·10 = −140 N·m

所求分量

M_x = −120 N·m

答案

M_x = −120 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 16.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2.5 + 15·3

R_B = 132.5/4 = 33.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 33.13 = 16.88 kN

答案

R_A = 16.88 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 36.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 10·1·2.5

R_B = 145/4 = 36.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 36.25 = 13.75 kN

答案

R_B = 36.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 4.688 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18.75 = 6.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.75/0.9701 = −19.33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19.33)·0.2425 = 4.688 kN

答案

F_AC = 4.688 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 7.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 − 15·4 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0.8944 = −16.77 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−16.77)·0.4472 = 7.5 kN

答案

F_AC = 7.5 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: Q = 686.9 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 20° = 500

F_link = 731 N

夹紧力

Q = F_link·cos 20° = 500/(2·tan 20°) = 686.9 N

答案

Q = 686.9 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 1.374 会无限增大。

8.框架与机器

答案: A_x = 0.582 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

BC 的方向

BC = 5.68 m, cos = 0.8979, sin = 0.4402

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.4402·6 = 5·0.54 + 10·2.5

F_BC = 10.49 kN

水平平衡

A_x + 10 − 10.49·0.8979 = 0

A_x = −0.582 kN → |A_x| = 0.582 kN

答案

A_x = 0.582 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −2.5 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 20 − 5·4.5 = −2.5 kN

答案

V_x = −2.5 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 57.19 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1.5 + 3·4·2

R_B = 106.5/4 = 26.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 26.63 = 40.38 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 40.38·1.5 − 3·1.5·0.75 = 57.19 kN·m

答案

M_x = 57.19 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 61.24 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

腹板: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·270 + 3640·130)/8440 = 209.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·20³/12 + 4800·(270 − 209.6)² = 1.766 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·260³/12 + 3640·(130 − 209.6)² = 4.358 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.766 × 10⁷ + 4.358 × 10⁷ = 6.124 × 10⁷ mm⁴ = 61.24 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 61.24 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 227.1 × 10⁶ mm⁴

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 3120 mm², y = 340 mm

腹板: A = 2480 mm², y = 173 mm

下翼缘: A = 4680 mm², y = 9 mm

形心

ȳ = (3120·340 + 2480·173 + 4680·9)/10280 = 149 mm

平行移轴定理

上翼缘: 130·24³/12 + 3120·191² = 1.139 × 10⁸ mm⁴

腹板: 8·310³/12 + 2480·23.98² = 2.129 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 260·18³/12 + 4680·140² = 9.188 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.139 × 10⁸ + 2.129 × 10⁷ + 9.188 × 10⁷

I_x = 2.271 × 10⁸ mm⁴ = 227.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 227.1 × 10⁶ mm⁴

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