静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (2, −5, 1) 在 b = (−1, −2, 6) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (2, −5, 1)b = (−1, −2, 6)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (1, −3, 2)、b = (−5, 4, −4) 和 c = (0, 5, 3)。

a = (1, −3, 2)b = (−5, 4, −4)c = (0, 5, 3)

V =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mP = 55 kN 位于 5 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 m

M_A = kN·m

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 8 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 4 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 5 mAD = 10 mP = 10 kN 位于 8 mQ = 75 kN 位于 4 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 10 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 0.9 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.36 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 8 kNL = 3 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 0.9 mA 到 K 的水平距离 = 0.36 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m，顶部销钉 C 高 2 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.2 m，作用 10 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 10 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 2 mDE 的高度 = 0.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 25 kN·m，没有其他荷载。求力偶右侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mM₀ = 25 kN·m 顺时针，作用于 2.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 0 m30 kN @ 12 m15 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 150 mm、厚 20 mm，总高度 500 mm，腹板厚 12 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 60 kN·m。求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σ_j 的大小。

B = 150 mmH = 500 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 2.186

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 2·(−1) + (−5)·(−2) + 1·6 = 14

b 的长度

|b| = √((−1)² + (−2)² + 6²) = 6.403

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 14/6.403 = 2.186

答案

comp_b a = 2.186

2.向量：点积和叉积

答案: V = 63

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·3 − (−4)·5 = 32

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−4)·0 − (−5)·3 = 15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·5 − 4·0 = −25

与 a 的点积

a·(b × c) = 1·32 + (−3)·15 + 2·(−25) = −63

V = |−63| = 63

答案

V = 63

3.梁的支座反力

答案: M_A = 425 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 55·5 + 30·5 = 425 kN·m

答案

M_A = 425 kN·m

4.梁的支座反力

答案: M_A = 320 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·5 = 10·3

R_D = 6 kN

V_C = 10 − 6 = 4 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 75 + 4 = 79 kN

M_A = 75·4 + 4·5 = 320 kN·m

答案

M_A = 320 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 3.333 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·4 → C_y = 6.667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6.667 = 3.333 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6.667/0.8944 = −7.454 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7.454)·0.4472 = 3.333 kN

答案

F_AC = 3.333 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 4.688 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·5 − 25·2 → C_y = 3.125 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3.125 = 11.88 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.125/0.5547 = −5.634 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−5.634)·0.8321 = 4.688 kN

答案

F_AC = 4.688 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_BC = 1.392 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(2.1² + 2²) = 2.9 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/2.9)·3 = 8·0.36

F_BC = 1.392 kN （压缩）

答案

F_BC = 1.392 kN

8.框架与机器

答案: C = 6.25 kN

B 处的支座反力

B_y = 10·1.2/3.2 = 3.75 kN

拉杆力

T = 3.75·1.6/1.2 = 5 kN

BC 上的销钉力

C_x = 5 kN, C_y = −3.75 kN

C = √(5² + 3.75²) = 6.25 kN

答案

C = 6.25 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 9.375 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 25/4 = 6.25 kN (向上)

R_A = −R_B = −6.25 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 R_A 和力偶。

M_x = R_A·a + M₀ = −6.25·2.5 + 25 = 9.375 kN·m

答案

M_x = 9.375 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 78.33 kN, R₂ = 81.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −33.33, M_D = −46.67, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −120 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 6.319 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

腹板: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·132.5 + 1200·60)/4700 = 114 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·25³/12 + 3500·(132.5 − 114)² = 1.382 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·120³/12 + 1200·(60 − 114)² = 4.938 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.382 × 10⁶ + 4.938 × 10⁶ = 6.319 × 10⁶ mm⁴ = 6.319 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 6.319 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_j = 31.14 MPa

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 500 − 2·20 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·500³ − 138·460³)/12

I_x = 4.431 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 250 − 20 = 230 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·230/4.431 × 10⁸ = 31.14 MPa

答案

σ_j = 31.14 MPa

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