描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：21, 39, 30, 16, 33。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。数值高于 100 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 20x = 100
P =
3.概率中等
袋中有 4 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 7
P =
4.概率困难
测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.1
P =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 22.4 和 43.1 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 22.4x2 = 43.1
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 37，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 37s = 199%t(20) = 2.845
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 68.5 kg，标准差 7.5 kg。地块组 2：19 块地，均值 61.5 kg，标准差 8 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 7x̄₁ = 68.5s₁ = 7.5n₂ = 19x̄₂ = 61.5s₂ = 899%t(24) = 2.797
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 500；已知总体标准差为 25。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 496.9。检验 H₀: μ = 500 对 H₁: μ < 500。求 p 值 p。
μ₀ = 500σ = 25n = 100x̄ = 496.9H₁: μ < μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 26。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 90%δ = 5σ = 26zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 19.5 时的 ŷ。
n = 5x = 19.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 9.257
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 139/5 = 27.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−6.8)² + 11.2² + 2.2² + (−11.8)² + 5.2² = 342.8
标准差
s = √(342.8/4) = 9.257
答案
s = 9.257
2.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 2
标准正态分布表
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
答案
P = 0.02275
3.概率
答案: P = 0.1091
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0.1091
答案
P = 0.1091
4.概率
答案: P = 0.659
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.912 = 0.2824
P(X = 1) = 12·0.1·0.911 = 0.3766
相加
P = 0.2824 + 0.3766 = 0.659
答案
P = 0.659
5.正态分布
答案: P = 0.913
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (22.4 − 32)/6 = −1.6
z₂ = (43.1 − 32)/6 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.6) = 0.9678 − 0.0548 = 0.913
答案
P = 0.913
6.正态分布
答案: P = 0.9772
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.025 = −2
概率
P = 1 − Φ(−2) = 0.9772
答案
P = 0.9772
7.置信区间
答案: 下限 = 36.38
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·1/√21 = 0.6208
区间
37 ± 0.6208 → [36.38, 37.62]
答案
下限 = 36.38
8.置信区间
答案: E = 9.742 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (6·7.5² + 18·8²)/24 = 62.06
sp = 7.878
误差范围
E = 2.797·7.878·√(1/7 + 1/19) = 9.742
答案
E = 9.742 kg
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1075
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 25/√100 = 2.5
z = (496.9 − 500)/2.5 = −1.24
尾部面积
Φ(1.24) = 0.8925
1 − Φ(1.24) = 0.1075
p 值
p = 0.1075
答案
p = 0.1075
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 352
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.282)·26/5)² = 352
向上取整
n = 352
答案
n = 352
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9928
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 108/5 = 21.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 353.2
相关系数
r = 118/√(40·353.2) = 0.9928
答案
r = 0.9928
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 45.4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 293/5 = 58.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264
回归直线
b = 264/90 = 2.933
a = 58.6 − 2.933·24 = −11.8
ŷ = −11.8 + 2.933·x
预测
ŷ = −11.8 + 2.933·19.5 = 45.4
答案
ŷ = 45.4
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1