描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：27, 42, 60, 57, 51, 52。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 15。数值低于 45 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 15x = 45
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.2, 0.1, 0.35, 0.35
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €8，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€8: p = 0.1€40: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 114.6 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 114.6 s
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 2.6。 用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 25E₁ = 2.690%
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 24。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 24E = 399%
n =
9.假设检验与置信区间中等
12 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.4，差值的标准差为 3.2。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 12d̄ = 2.4sd = 3.2
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 4。求最小样本量 n。
σ = 4E = 1.590%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 23 时的 ŷ。
n = 5x = 23
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.06
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 289/6 = 48.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−21.17)² + (−6.167)² + 11.83² + 8.833² + 2.833² + 3.833² = 726.8
标准差
s = √(726.8/5) = 12.06
答案
s = 12.06
2.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答案
P = 0.1587
3.概率
答案: σ = 11.08
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.2 + 20·0.1 + 30·0.35 + 40·0.35 = 28.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.2 + 400·0.1 + 900·0.35 + 1600·0.35 = 935
方差
Var(X) = 935 − 28.5² = 122.8
σ = √122.8 = 11.08
答案
σ = 11.08
4.概率
答案: E(G) = −0.8 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 6 (p = 0.1), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.89)
期望值
E(G) = 6·0.1 + 38·0.01 − 2·0.89 = −0.8 €
答案
E(G) = −0.8 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: P = 0.06681
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (114.6 − 105)/6.403 = 1.5
上尾
P = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
6.正态分布
答案: P = 0.9616
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.02828 = −1.77
概率
P = 1 − Φ(−1.77) = 0.9616
答案
P = 0.9616
7.置信区间
答案: E₂ = 2.182
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(25/25) = 0.8393
新的误差范围
E₂ = 2.6·0.8393 = 2.182
答案
E₂ = 2.182
8.置信区间
答案: n = 425
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·24/3)² = 424.7
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 425
答案
n = 425
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.598
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 3.2/√12 = 0.9238
检验统计量
t = 2.4/0.9238 = 2.598
答案
t = 2.598
df = 11 时，双侧 5% 的临界值为 2.201；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 20
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·4/1.5)² = 19.24
向上取整
n = 20
答案
n = 20
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9682
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 377/6 = 62.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235
Syy = Σ(y − ȳ)² = 814.8
决定系数
r² = 235²/(70·814.8) = 0.9682
答案
r² = 0.9682
y 的变异中约有 96.82% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 130.4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 568/5 = 113.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224
回归直线
b = 224/40 = 5.6
a = 113.6 − 5.6·20 = 1.6
ŷ = 1.6 + 5.6·x
预测
ŷ = 1.6 + 5.6·23 = 130.4
答案
ŷ = 130.4
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