描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：50, 54, 11, 21, 17。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 536 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 60x = 536
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.2, 0.3, 0.15
Var(X) =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.4k = 2
P =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 26 和 42.8 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 26x2 = 42.8
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分70%
x = 分
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 112 h，已知标准差 5 h。型号 2：60 部手机，均值 112.5 h，已知标准差 6 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 80x̄₁ = 112 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 112.5 hσ₂ = 6 h99%
E = h
8.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p = 0.5E = 0.0399%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 87.5，标准差 8。第 2 组：15 名学生，平均分 91.4，标准差 5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 7x̄₁ = 87.5s₁ = 8n₂ = 15x̄₂ = 91.4s₂ = 5
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 1.595%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 22？
n = 6ŷ = 22
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 19.91
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 153/5 = 30.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 19.4² + 23.4² + (−19.6)² + (−9.6)² + (−13.6)² = 1585
标准差
s = √(1585/4) = 19.91
答案
s = 19.91
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (536 − 500)/60 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: Var(X) = 1.188
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.15 = 1.25
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.15 = 2.75
方差
Var(X) = 2.75 − 1.25² = 1.188
答案
Var(X) = 1.188
4.概率
答案: P = 0.3456
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 10·0.42·0.63 = 10·0.16·0.216 = 0.3456
答案
P = 0.3456
5.正态分布
答案: P = 0.8054
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (26 − 32)/6 = −1
z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1) = 0.9641 − 0.1587 = 0.8054
答案
P = 0.8054
6.正态分布
答案: x = 107.8 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 100 + 0.52·15 = 107.8 分
答案
x = 107.8 分
7.置信区间
答案: E = 2.461 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 112 − 112.5 = −0.5
标准误
SE = √(5²/80 + 6²/60) = 0.9552
误差范围
E = 2.576·0.9552 = 2.461
答案
E = 2.461 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: n = 1844
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.03² = 1843
向上取整
n = 1844
答案
n = 1844
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.406
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (6·8² + 14·5²)/20 = 36.7
sp = 6.058
标准误
SE = 6.058·√(1/7 + 1/15) = 2.773
检验统计量
t = (87.5 − 91.4)/2.773 = −1.406
答案
t = −1.406
df = 20 时，双侧 5% 的临界值为 2.086；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 171
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·10/1.5)² = 170.7
向上取整
n = 171
答案
n = 171
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9811
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 488/5 = 97.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1395
决定系数
r² = 234²/(40·1395) = 0.9811
答案
r² = 0.9811
y 的变异中约有 98.11% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 4.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 138/6 = 23
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
回归直线
b = −25/17.5 = −1.429
a = 23 − (−1.429)·3.5 = 28
ŷ = 28 − 1.429·x
解出 x
x = (22 − 28)/(−1.429) = 4.2
答案
x = 4.2
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