描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 31, 16, 55, 59, 56。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值低于 140 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 140
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 7
P =
4.概率困难
一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？
n = 6p = 0.6k = 5
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0228。求 z，保留两位小数。
A = 0.0228
z =
6.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 97.5%
x = 分
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 141.5 h，已知标准差 6 h。型号 2：60 部手机，均值 126.5 h，已知标准差 18 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 100x̄₁ = 141.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 60x̄₂ = 126.5 hσ₂ = 18 h95%
上限 = h
8.置信区间困难
总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 28E = 2.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 197.4，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 197.4s = 20n = 49
t =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 49.3。总体标准差为 5。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 49.3σ = 5n = 10090%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4 时的 ŷ。
n = 5x = 4
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 21.27
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 229/6 = 38.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−26.17)² + (−7.167)² + (−22.17)² + 16.83² + 20.83² + 17.83² = 2263
标准差
s = √(2263/5) = 21.27
答案
s = 21.27
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: P = 0.7209
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答案
P = 0.7209
4.概率
答案: P = 0.1866
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 5) = 6·0.65·0.41 = 6·0.07776·0.4 = 0.1866
答案
P = 0.1866
5.正态分布
答案: z = 2
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0228 = 0.9772
反向查 z 表
在表中找到 0.9772，读出 z。
z = 2.00
答案
z = 2.00
6.正态分布
答案: x = 129.4 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 100 + 1.96·15 = 129.4 分
答案
x = 129.4 分
7.置信区间
答案: 上限 = 19.7 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 141.5 − 126.5 = 15
标准误
SE = √(6²/100 + 18²/60) = 2.4
误差范围
E = 1.96·2.4 = 4.704
区间
15 ± 4.704 → [10.3, 19.7]
答案
上限 = 19.7 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: n = 482
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·28/2.5)² = 481.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 482
答案
n = 482
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.91
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857
检验统计量
t = (197.4 − 200)/2.857 = −0.91
答案
t = −0.91
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 48.48
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·5/√100 = 0.8225
区间端点
L = 49.3 − 0.8225 = 48.48
答案
L = 48.48
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9851
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 410/6 = 68.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1187
相关系数
r = 284/√(70·1187) = 0.9851
答案
r = 0.9851
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 63.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 369/5 = 73.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
回归直线
b = 142/40 = 3.55
a = 73.8 − 3.55·7 = 48.95
ŷ = 48.95 + 3.55·x
预测
ŷ = 48.95 + 3.55·4 = 63.15
答案
ŷ = 63.15
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