描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 38, 17, 51, 10。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值高于 36 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 12x = 36
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.2, 0.05, 0.3, 0.1
σ =
4.概率困难
测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.1
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8501。求 z，保留两位小数。
A = 0.8501
z =
6.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 99%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 89.5，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 16x̄ = 89.5s = 1599%t(15) = 2.947
下限 =
8.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 10.9 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 10.9 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 72.92，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 72.92s = 8n = 100
t =
10.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 49.2。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 49.2σ = 8n = 1699%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 11 时的 ŷ。
n = 6x = 11
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 18.04
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 128/5 = 25.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−13.6)² + 12.4² + (−8.6)² + 25.4² + (−15.6)² = 1301
标准差
s = √(1301/4) = 18.04
答案
s = 18.04
2.描述统计
答案: P = 0.9772
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
答案
P = 0.9772
3.概率
答案: σ = 1.463
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.1 = 2.6
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.1 = 8.9
方差
Var(X) = 8.9 − 2.6² = 2.14
σ = √2.14 = 1.463
答案
σ = 1.463
4.概率
答案: P = 0.7361
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.910 = 0.3487
P(X = 1) = 10·0.1·0.99 = 0.3874
相加
P = 0.3487 + 0.3874 = 0.7361
答案
P = 0.7361
5.正态分布
答案: z = 1.44
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8501)/2 = 0.9251
反向查 z 表
在表中找到 0.9251，读出 z。
z = 1.44
答案
z = 1.44
6.正态分布
答案: x = 134.9 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 100 + 2.326·15 = 134.89 分
答案
x = 134.89 分
7.置信区间
答案: 下限 = 78.45
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 2.947
误差范围
E = 2.947·15/√16 = 11.05
区间
89.5 ± 11.05 → [78.45, 100.6]
答案
下限 = 78.45
8.置信区间
答案: σ = 7.98 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·10.9² = 1663
σ² 的限值
1663/26.119 = 63.68
1663/5.629 = 295.5
σ 的限值
σ = √63.68 = 7.98 µm
答案
σ = 7.98 µm
σ 的 95% 区间：[7.98, 17.19] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8
检验统计量
t = (72.92 − 75)/0.8 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 54.35
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·8/√16 = 5.152
区间端点
U = 49.2 + 5.152 = 54.35
答案
U = 54.35
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9961
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 101/5 = 20.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 350.8
相关系数
r = 118/√(40·350.8) = 0.9961
答案
r = 0.9961
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 70.63
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 336/6 = 56
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256
回归直线
b = 256/70 = 3.657
a = 56 − 3.657·7 = 30.4
ŷ = 30.4 + 3.657·x
预测
ŷ = 30.4 + 3.657·11 = 70.63
答案
ŷ = 70.63
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