统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：10, 36, 16, 19, 48, 15, 12。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值低于 470 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 25x = 470

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

Var(X) =

4.概率困难

测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.3

P =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0154。求 z，保留两位小数。

A = 0.0154

z =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 40% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 38.5，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 13x̄ = 38.5s = 1399%t(12) = 3.055

E =

8.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.1 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.04？

p ≈ 0.1E = 0.0490%

n =

9.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 121，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 121s = 5n = 100

t =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 140 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 128 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 128n₂ = 200

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 1.5 时的 ŷ。

n = 6x = 1.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.2

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 156/7 = 22.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.29)² + 13.71² + (−6.286)² + (−3.286)² + 25.71² + (−7.286)² + (−10.29)² = 1209

标准差

s = √(1209/6) = 14.2

答案

s = 14.2

2.描述统计

答案: P = 0.1151

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

答案

P = 0.1151

3.概率

答案: Var(X) = 0.6475

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

方差

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

答案

Var(X) = 0.6475

4.概率

答案: P = 0.1493

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7¹⁰ = 0.02825

P(X = 1) = 10·0.3·0.7⁹ = 0.1211

相加

P = 0.02825 + 0.1211 = 0.1493

答案

P = 0.1493

5.正态分布

答案: z = 2.16

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0154 = 0.9846

反向查 z 表

在表中找到 0.9846，读出 z。

z = 2.16

答案

z = 2.16

6.正态分布

答案: x = 510 h

左侧的面积

Φ(z) = 0.6

由表得到的 z

z ≈ 0.25

回到原来的单位

x = 500 + 0.25·40 = 510 h

答案

x = 510 h

7.置信区间

答案: E = 11.01

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 3.055

误差范围

E = 3.055·13/√13 = 11.01

答案

E = 11.01

8.置信区间

答案: n = 153

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.1·0.9/0.04² = 152.2

向上取整

n = 153

答案

n = 153

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

检验统计量

t = (121 − 120)/0.5 = 2

答案

t = 2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: z = 1.276

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 140/200 = 0.7

p̂₂ = 128/200 = 0.64

p̂ = 268/400 = 0.67

H₀ 下的标准误

SE = √(0.67·0.33·(1/200 + 1/200)) = 0.04702

检验统计量

z = (0.7 − 0.64)/0.04702 = 1.276

答案

z = 1.276

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9409

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 353/5 = 70.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 959.2

决定系数

r² = 190²/(40·959.2) = 0.9409

答案

r² = 0.9409

y 的变异中约有 94.09% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 21.9

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 106/6 = 17.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

回归直线

b = −37/17.5 = −2.114

a = 17.67 − (−2.114)·3.5 = 25.07

ŷ = 25.07 − 2.114·x

预测

ŷ = 25.07 + (−2.114)·1.5 = 21.9

答案

ŷ = 21.9

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