描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：17, 20, 39, 28, 32, 37。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值低于 60 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 5x = 60
P =
3.概率中等
从 14 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 14k = 5
N =
4.概率困难
测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.2
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8969。求 z，保留两位小数。
A = 0.8969
z =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 30% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分30%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 94，标准差 s = 5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 13x̄ = 94s = 599%t(12) = 3.055
上限 =
8.置信区间困难
30 根机加工轴的直径样本标准差为 7.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。
n = 30s = 7.4 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 5。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 122.26。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ > 120。求 p 值 p。
μ₀ = 120σ = 5n = 25x̄ = 122.26H₁: μ > μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 50 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 27 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 27n₂ = 80
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 24？
n = 6ŷ = 24
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 8.931
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 173/6 = 28.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−11.83)² + (−8.833)² + 10.17² + (−0.8333)² + 3.167² + 8.167² = 398.8
标准差
s = √(398.8/5) = 8.931
答案
s = 8.931
2.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答案
P = 0.02275
3.概率
答案: N = 2002
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002
答案
N = 2002
4.概率
答案: P = 0.2749
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.812 = 0.06872
P(X = 1) = 12·0.2·0.811 = 0.2062
相加
P = 0.06872 + 0.2062 = 0.2749
答案
P = 0.2749
5.正态分布
答案: z = 1.63
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8969)/2 = 0.9484
反向查 z 表
在表中找到 0.9484，读出 z。
z = 1.63
答案
z = 1.63
6.正态分布
答案: x = 59.8 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.3
由表得到的 z
z ≈ −0.52
回到原来的单位
x = 65 − 0.52·10 = 59.8 分
答案
x = 59.8 分
7.置信区间
答案: 上限 = 98.24
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 3.055
误差范围
E = 3.055·5/√13 = 4.237
区间
94 ± 4.237 → [89.76, 98.24]
答案
上限 = 98.24
8.置信区间
答案: σ = 9.948 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 29·7.4² = 1588
σ² 的限值
1588/45.722 = 34.73
1588/16.047 = 98.96
σ 的限值
σ = √98.96 = 9.948 µm
答案
σ = 9.948 µm
σ 的 95% 区间：[5.893, 9.948] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.01191
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (122.26 − 120)/1 = 2.26
尾部面积
Φ(2.26) = 0.9881
1 − Φ(2.26) = 0.0119
p 值
p = 0.01191
答案
p = 0.01191
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −1.481
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 50/200 = 0.25
p̂₂ = 27/80 = 0.3375
p̂ = 77/280 = 0.275
H₀ 下的标准误
SE = √(0.275·0.725·(1/200 + 1/80)) = 0.05907
检验统计量
z = (0.25 − 0.3375)/0.05907 = −1.481
答案
z = −1.481
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9919
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 656/5 = 131.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 501
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2835
相关系数
r = 501/√(90·2835) = 0.9919
答案
r = 0.9919
12.线性回归与相关
答案: x = 4.047
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 150/6 = 25
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
回归直线
b = −32/17.5 = −1.829
a = 25 − (−1.829)·3.5 = 31.4
ŷ = 31.4 − 1.829·x
解出 x
x = (24 − 31.4)/(−1.829) = 4.047
答案
x = 4.047
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