描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：11, 47, 47, 26, 40, 14, 54。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。数值低于 530 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 75x = 530
P =
3.概率中等
从 13 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 13k = 3
N =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.3 赢得 €20，以概率 0.01 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€20: p = 0.3€250: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 62 和 85 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 85
P =
6.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 3。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 100E₁ = 395%
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 27。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 27E = 0.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
13 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 5.67，差值的标准差为 6.6。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 13d̄ = 5.67sd = 6.6
t =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 122.2。总体标准差为 8。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 122.2σ = 8n = 10099%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4.5 时的 ŷ。
n = 6x = 4.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.16
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 239/7 = 34.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−23.14)² + 12.86² + 12.86² + (−8.143)² + 5.857² + (−20.14)² + 19.86² = 1767
标准差
s = √(1767/6) = 17.16
答案
s = 17.16
2.描述统计
答案: P = 0.6554
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.4
标准正态分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答案
P = 0.6554
3.概率
答案: N = 286
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286
答案
N = 286
4.概率
答案: E(G) = 3.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 15 (p = 0.3), 245 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)
期望值
E(G) = 15·0.3 + 245·0.01 − 5·0.69 = 3.5 €
答案
E(G) = 3.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.5952
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (62 − 65)/10 = −0.3
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−0.3) = 0.9772 − 0.3821 = 0.5952
答案
P = 0.5952
6.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
7.置信区间
答案: E₂ = 3.574
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/100) = 1.191
新的误差范围
E₂ = 3·1.191 = 3.574
答案
E₂ = 3.574
8.置信区间
答案: n = 19350
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·27/0.5)² = 19350
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 19350
答案
n = 19350
9.假设检验与置信区间
答案: t = 3.097
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 6.6/√13 = 1.831
检验统计量
t = 5.67/1.831 = 3.097
答案
t = 3.097
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 124.3
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·8/√100 = 2.061
区间端点
U = 122.2 + 2.061 = 124.3
答案
U = 124.3
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9847
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 526/5 = 105.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1743
决定系数
r² = 393²/(90·1743) = 0.9847
答案
r² = 0.9847
y 的变异中约有 98.47% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 14.22
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 103/6 = 17.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51.5
回归直线
b = −51.5/17.5 = −2.943
a = 17.17 − (−2.943)·3.5 = 27.47
ŷ = 27.47 − 2.943·x
预测
ŷ = 27.47 + (−2.943)·4.5 = 14.22
答案
ŷ = 14.22
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1