统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：58, 36, 29, 19, 23, 26, 34。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 92.5 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 15x = 92.5

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.35, 0.25, 0.05

σ =

4.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.5k = 3

P =

5.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 376 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 376 kg

P =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.置信区间中等

一个包含 9 个个体的样本，均值为 86.5，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 9x̄ = 86.5s = 1690%t(8) = 1.86

下限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 32。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 32E = 0.595%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 56 mm，该生产线的已知标准差为 15 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 51.3 mm，已知标准差为 14 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 80x̄₁ = 56 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 40x̄₂ = 51.3 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 90%δ = 4σ = 14z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 36)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(9, 36)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 12.85

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 225/7 = 32.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 25.86² + 3.857² + (−3.143)² + (−13.14)² + (−9.143)² + (−6.143)² + 1.857² = 990.9

标准差

s = √(990.9/6) = 12.85

答案

s = 12.85

2.描述统计

答案: z = 1.5

标准化

z = (92.5 − 70)/15 = 1.5

答案

z = 1.5

3.概率

答案: σ = 8.944

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.35 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.05 = 20

平方的均值

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.05 = 480

方差

Var(X) = 480 − 20² = 80

σ = √80 = 8.944

答案

σ = 8.944

4.概率

答案: P = 0.08057

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 3) = 165·0.5³·0.5⁸ = 165·0.125·0.003906 = 0.08057

答案

P = 0.08057

5.正态分布

答案: P = 0.06681

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

标准化

z = (376 − 340)/24 = 1.5

概率

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

答案

P = 0.06681

6.正态分布

答案: P = 0.9909

差的分布

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.05)/0.02121 = −2.36

概率

P = 1 − Φ(−2.36) = 0.9909

答案

P = 0.9909

7.置信区间

答案: 下限 = 76.58

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 1.86

误差范围

E = 1.86·16/√9 = 9.92

区间

86.5 ± 9.92 → [76.58, 96.42]

答案

下限 = 76.58

8.置信区间

答案: n = 15736

解出 n

n = (1.96·32/0.5)² = 15735

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 15736

答案

n = 15736

9.假设检验与置信区间

答案: z = 1.692

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(15²/80 + 14²/40) = √7.712 = 2.777

检验统计量

z = (56 − 51.3)/2.777 = 1.692

答案

z = 1.692

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 105

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.282)·14/4)² = 104.9

向上取整

n = 105

答案

n = 105

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9913

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 418/6 = 69.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 322

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1507

答案

r = 0.9913

12.线性回归与相关

答案: e = 1.971

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 162/6 = 27

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

回归直线

b = 246/70 = 3.514

a = 27 − 3.514·7 = 2.4

ŷ = 2.4 + 3.514·x

预测值

ŷ = 2.4 + 3.514·9 = 34.03

残差

e = 36 − 34.03 = 1.971

答案

e = 1.971

该点位于直线上方。

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1