描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：46, 57, 14, 23, 48。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 420 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 100x = 420
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.35, 0.1, 0.2
Var(X) =
4.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.2
P =
5.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 34.5 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34.5 min
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 92.5 h，已知标准差 6 h。型号 2：40 部手机，均值 84.5 h，已知标准差 19 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 100x̄₁ = 92.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 40x̄₂ = 84.5 hσ₂ = 19 h95%
下限 = h
8.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p = 0.5E = 0.0199%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：10 名学生，平均分 100，标准差 8。第 2 组：6 名学生，平均分 107.8，标准差 2.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 10x̄₁ = 100s₁ = 8n₂ = 6x̄₂ = 107.8s₂ = 2.5
t =
10.假设检验与置信区间困难
64 次测量的样本均值为 49.8。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 49.8σ = 5n = 6499%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 17？
n = 6ŷ = 17
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 18.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 188/5 = 37.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 8.4² + 19.4² + (−23.6)² + (−14.6)² + 10.4² = 1325
标准差
s = √(1325/4) = 18.2
答案
s = 18.2
2.描述统计
答案: z = −0.8
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (420 − 500)/100 = −0.8
答案
z = −0.8
3.概率
答案: Var(X) = 122.8
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.35 + 20·0.35 + 30·0.1 + 40·0.2 = 21.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.35 + 900·0.1 + 1600·0.2 = 585
方差
Var(X) = 585 − 21.5² = 122.8
答案
Var(X) = 122.8
4.概率
答案: P = 0.3221
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.811 = 0.0859
P(X = 1) = 11·0.2·0.810 = 0.2362
相加
P = 0.0859 + 0.2362 = 0.3221
答案
P = 0.3221
5.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (34.5 − 32)/2.5 = 1
上尾
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
6.正态分布
答案: P = 0.8665
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11
概率
P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665
答案
P = 0.8665
7.置信区间
答案: 下限 = 1.996 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 92.5 − 84.5 = 8
标准误
SE = √(6²/100 + 19²/40) = 3.063
误差范围
E = 1.96·3.063 = 6.004
区间
8 ± 6.004 → [1.996, 14]
答案
下限 = 1.996 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: n = 16590
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.01² = 16589
向上取整
n = 16590
答案
n = 16590
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.293
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (9·8² + 5·2.5²)/14 = 43.38
sp = 6.586
标准误
SE = 6.586·√(1/10 + 1/6) = 3.401
检验统计量
t = (100 − 107.8)/3.401 = −2.293
答案
t = −2.293
df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 48.19
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·5/√64 = 1.61
区间端点
L = 49.8 − 1.61 = 48.19
答案
L = 48.19
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9219
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 274/6 = 45.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 321.3
决定系数
r² = 144²/(70·321.3) = 0.9219
答案
r² = 0.9219
y 的变异中约有 92.19% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 3.889
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 108/6 = 18
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
回归直线
b = −45/17.5 = −2.571
a = 18 − (−2.571)·3.5 = 27
ŷ = 27 − 2.571·x
解出 x
x = (17 − 27)/(−2.571) = 3.889
答案
x = 3.889
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