描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：29, 12, 35, 43, 36, 29。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值高于 160 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 10x = 160
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.3, 0.05, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 0.5X − 3
σY =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 172.75 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 172.75x2 = 190.95
P =
6.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 75%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 77.5，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 13x̄ = 77.5s = 11.590%t(12) = 1.782
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 14。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 14E = 199%
n =
9.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 51.2，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 51.2s = 4n = 49
t =
10.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 75.8。总体标准差为 8。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 75.8σ = 8n = 8195%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 20)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4.5, 20)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 10.52
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 184/6 = 30.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−1.667)² + (−18.67)² + 4.333² + 12.33² + 5.333² + (−1.667)² = 553.3
标准差
s = √(553.3/5) = 10.52
答案
s = 10.52
2.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.概率
答案: Var(X) = 154.8
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.3 + 20·0.3 + 30·0.05 + 40·0.35 = 24.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.3 + 400·0.3 + 900·0.05 + 1600·0.35 = 755
方差
Var(X) = 755 − 24.5² = 154.8
答案
Var(X) = 154.8
4.概率
答案: σY = 0.4183
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1, Var(X) = 0.7, σX = 0.8367
线性变换
σY = |0.5|·0.8367 = 0.4183
答案
σY = 0.4183
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1 − 3 = −2.5。
5.正态分布
答案: P = 0.7412
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (172.75 − 178)/7 = −0.75
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−0.75) = 0.9678 − 0.2266 = 0.7412
答案
P = 0.7412
6.正态分布
答案: x = 71.75 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 分
答案
x = 71.75 分
7.置信区间
答案: 下限 = 71.82
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 1.782
误差范围
E = 1.782·11.5/√13 = 5.684
区间
77.5 ± 5.684 → [71.82, 83.18]
答案
下限 = 71.82
8.置信区间
答案: n = 1301
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·14/1)² = 1301
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1301
答案
n = 1301
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
检验统计量
t = (51.2 − 50)/0.5714 = 2.1
答案
t = 2.1
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 77.54
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·8/√81 = 1.742
区间端点
U = 75.8 + 1.742 = 77.54
答案
U = 77.54
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.912
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 233/5 = 46.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51
Syy = Σ(y − ȳ)² = 285.2
决定系数
r² = 51²/(10·285.2) = 0.912
答案
r² = 0.912
y 的变异中约有 91.2% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 4.148
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 109/6 = 18.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40.5
回归直线
b = −40.5/17.5 = −2.314
a = 18.17 − (−2.314)·3.5 = 26.27
ŷ = 26.27 − 2.314·x
预测值
ŷ = 26.27 + (−2.314)·4.5 = 15.85
残差
e = 20 − 15.85 = 4.148
答案
e = 4.148
该点位于直线上方。
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