描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 40, 24, 11, 43。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。数值低于 42 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 8x = 42
P =
3.概率中等
袋中有 7 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 7
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.25, 0.15, 0.25Y = −2X + 5
σY =
5.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 246.25 和 256.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 246.25x2 = 256.25
P =
6.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 80%
x = 分
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 11.9。 用同样的数据计算 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 100E₁ = 11.999%
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 6。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 6E = 2.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 496.5，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 496.5s = 20n = 64
t =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 20。求最小样本量 n。
σ = 20E = 299%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2.5, 18)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(2.5, 18)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 134/5 = 26.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−10.8)² + 13.2² + (−2.8)² + (−15.8)² + 16.2² = 810.8
标准差
s = √(810.8/4) = 14.24
答案
s = 14.24
2.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587
答案
P = 0.1587
3.概率
答案: P = 0.2308
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0.2308
答案
P = 0.2308
4.概率
答案: σY = 4.75
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.6, Var(X) = 5.64, σX = 2.375
线性变换
σY = |−2|·2.375 = 4.75
答案
σY = 4.75
均值确实会改变：E(Y) = −2·2.6 + 5 = −0.2。
5.正态分布
答案: P = 0.6677
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (246.25 − 250)/5 = −0.75
z₂ = (256.25 − 250)/5 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−0.75) = 0.8944 − 0.2266 = 0.6677
答案
P = 0.6677
6.正态分布
答案: x = 73.42 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
换算回 x
x = 65 + 0.8416·10 = 73.42 分
答案
x = 73.42 分
7.置信区间
答案: E₂ = 15.64
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(100/100) = 1.314
新的误差范围
E₂ = 11.9·1.314 = 15.64
答案
E₂ = 15.64
8.置信区间
答案: n = 39
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·6/2.5)² = 38.22
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 39
答案
n = 39
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5
检验统计量
t = (496.5 − 500)/2.5 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 664
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·20/2)² = 663.6
向上取整
n = 664
答案
n = 664
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9843
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 431/6 = 71.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 343
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1735
相关系数
r = 343/√(70·1735) = 0.9843
答案
r = 0.9843
12.线性回归与相关
答案: e = −2.25
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
回归直线
b = −17/10 = −1.7
a = 19.4 − (−1.7)·3 = 24.5
ŷ = 24.5 − 1.7·x
预测值
ŷ = 24.5 + (−1.7)·2.5 = 20.25
残差
e = 18 − 20.25 = −2.25
答案
e = −2.25
该点位于直线下方。
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