描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：45, 53, 53, 32, 23, 10, 37。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值低于 650 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 100x = 650
P =
3.概率中等
从 7 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 7k = 4
N =
4.概率困难
测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.1
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9249。求 z，保留两位小数。
A = 0.9249
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
测量 6 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 5.5，标准差为 3.7。 求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 6d̄ = 5.5sd = 3.799%t(5) = 4.032
E = mmHg
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.7 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p ≈ 0.7E = 0.02599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 18。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 76.64。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ < 80。求 p 值 p。
μ₀ = 80σ = 18n = 36x̄ = 76.64H₁: μ < μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 5。求最小样本量 n。
σ = 5E = 199%
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 138Σy = 431Σx² = 3244Σy² = 31581Σxy = 10104
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 23)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(1.5, 23)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.92
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 253/7 = 36.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = 8.857² + 16.86² + 16.86² + (−4.143)² + (−13.14)² + (−26.14)² + 0.8571² = 1521
标准差
s = √(1521/6) = 15.92
答案
s = 15.92
2.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
3.概率
答案: N = 35
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35
答案
N = 35
4.概率
答案: P = 0.7748
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.99 = 0.3874
P(X = 1) = 9·0.1·0.98 = 0.3874
相加
P = 0.3874 + 0.3874 = 0.7748
答案
P = 0.7748
5.正态分布
答案: z = 1.78
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9249)/2 = 0.9625
反向查 z 表
在表中找到 0.9625，读出 z。
z = 1.78
答案
z = 1.78
6.正态分布
答案: P = 0.8264
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94
概率
P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264
答案
P = 0.8264
7.置信区间
答案: E = 6.09 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 5, t = 4.032
误差范围
E = 4.032·3.7/√6 = 6.09
答案
E = 6.09 mmHg
8.置信区间
答案: n = 2230
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.7·0.3/0.025² = 2230
向上取整
n = 2230
答案
n = 2230
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1314
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (76.64 − 80)/3 = −1.12
尾部面积
Φ(1.12) = 0.8686
1 − Φ(1.12) = 0.1314
p 值
p = 0.1314
答案
p = 0.1314
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 166
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·5/1)² = 165.9
向上取整
n = 166
答案
n = 166
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9162
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 10104 − 138·431/6 = 191
Sxx = 3244 − 138²/6 = 70
Syy = 31581 − 431²/6 = 620.8
相关系数
r = 191/√(70·620.8) = 0.9162
答案
r = 0.9162
12.线性回归与相关
答案: e = −2.25
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
回归直线
b = −19/10 = −1.9
a = 22.4 − (−1.9)·3 = 28.1
ŷ = 28.1 − 1.9·x
预测值
ŷ = 28.1 + (−1.9)·1.5 = 25.25
残差
e = 23 − 25.25 = −2.25
答案
e = −2.25
该点位于直线下方。
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