统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：27, 44, 44, 21, 17。

n = 5

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。求成绩 85 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 10x = 85

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.05, 0.3, 0.1, 0.2

Var(X) =

4.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.5k = 5

P =

5.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 197.3 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 5< 197.3 g

P =

6.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 90% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 53 h，已知标准差 7 h。型号 2：60 部手机，均值 40 h，已知标准差 8 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 30x̄₁ = 53 hσ₁ = 7 hn₂ = 60x̄₂ = 40 hσ₂ = 8 h95%

下限 = h

8.置信区间困难

总体标准差为 32。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 32E = 1.590%

n =

9.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 130.9，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 130.9s = 15n = 16

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 20。求最小样本量 n。

σ = 20E = 2.595%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 137？

n = 6ŷ = 137

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 12.74

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 153/5 = 30.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−3.6)² + 13.4² + 13.4² + (−9.6)² + (−13.6)² = 649.2

标准差

s = √(649.2/4) = 12.74

答案

s = 12.74

2.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (85 − 100)/10 = −1.5

答案

z = −1.5

3.概率

答案: Var(X) = 2.287

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.1 + 5·0.2 = 2.75

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.1 + 25·0.2 = 9.85

方差

Var(X) = 9.85 − 2.75² = 2.287

答案

Var(X) = 2.287

4.概率

答案: P = 0.2256

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 5) = 462·0.5⁵·0.5⁶ = 462·0.03125·0.01563 = 0.2256

答案

P = 0.2256

5.正态分布

答案: P = 0.1562

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 200 g, σ_T = 1.2·√5 = 2.683 g

标准化

z = (197.3 − 200)/2.683 = −1.01

概率

P = Φ(−1.01) = 0.1562

答案

P = 0.1562

6.正态分布

答案: x = 256.4 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

答案

x = 256.4 g

7.置信区间

答案: 下限 = 9.779 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 53 − 40 = 13

标准误

SE = √(7²/30 + 8²/60) = 1.643

误差范围

E = 1.96·1.643 = 3.221

区间

13 ± 3.221 → [9.779, 16.22]

答案

下限 = 9.779 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

8.置信区间

答案: n = 1232

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·32/1.5)² = 1232

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1232

答案

n = 1232

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.907

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

检验统计量

t = (130.9 − 120)/3.75 = 2.907

答案

t = 2.907

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 246

解出 n

n = (1.96·20/2.5)² = 245.9

向上取整

n = 246

答案

n = 246

11.线性回归与相关

答案: r = 0.956

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 349/6 = 58.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 682.8

答案

r = 0.956

12.线性回归与相关

答案: x = 26.02

均值

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 699/6 = 116.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

回归直线

b = 357/70 = 5.1

a = 116.5 − 5.1·22 = 4.3

ŷ = 4.3 + 5.1·x

解出 x

x = (137 − 4.3)/5.1 = 26.02

答案

x = 26.02

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1