描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：34, 18, 59, 47, 34, 48, 29。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。数值低于 88 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 8x = 88
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.3k = 2
P =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 729 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 729 kg
P =
6.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 5%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 23.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 21x̄ = 23.5s = 195%t(20) = 2.086
上限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 15。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 15E = 2.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
20 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −1.43，差值的标准差为 7.1。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 20d̄ = −1.43sd = 7.1
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 42 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 147 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 147n₂ = 300
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 431Σx² = 364Σy² = 33321Σxy = 3420
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5.5, 62)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5.5, 62)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.75
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 269/7 = 38.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−4.429)² + (−20.43)² + 20.57² + 8.571² + (−4.429)² + 9.571² + (−9.429)² = 1134
标准差
s = √(1134/6) = 13.75
答案
s = 13.75
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
4.概率
答案: P = 0.3087
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 10·0.32·0.73 = 10·0.09·0.343 = 0.3087
答案
P = 0.3087
5.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
标准化
z = (729 − 765)/36 = −1
概率
P = Φ(−1) = 0.1587
答案
P = 0.1587
6.正态分布
答案: x = 75.33 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 100 + −1.645·15 = 75.33 分
答案
x = 75.33 分
7.置信区间
答案: 上限 = 23.96
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.086
误差范围
E = 2.086·1/√21 = 0.4552
区间
23.5 ± 0.4552 → [23.04, 23.96]
答案
上限 = 23.96
8.置信区间
答案: n = 139
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·15/2.5)² = 138.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 139
答案
n = 139
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9007
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 7.1/√20 = 1.588
检验统计量
t = −1.43/1.588 = −0.9007
答案
t = −0.9007
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −2.605
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 42/120 = 0.35
p̂₂ = 147/300 = 0.49
p̂ = 189/420 = 0.45
H₀ 下的标准误
SE = √(0.45·0.55·(1/120 + 1/300)) = 0.05374
检验统计量
z = (0.35 − 0.49)/0.05374 = −2.605
答案
z = −2.605
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9913
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 3420 − 42·431/6 = 403
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 33321 − 431²/6 = 2361
相关系数
r = 403/√(70·2361) = 0.9913
答案
r = 0.9913
12.线性回归与相关
答案: e = 5.405
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 313/6 = 52.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77.5
回归直线
b = 77.5/17.5 = 4.429
a = 52.17 − 4.429·4.5 = 32.24
ŷ = 32.24 + 4.429·x
预测值
ŷ = 32.24 + 4.429·5.5 = 56.6
残差
e = 62 − 56.6 = 5.405
答案
e = 5.405
该点位于直线上方。
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