描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：12, 51, 26, 35, 52, 56。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值低于 112 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 20x = 112
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 5 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 5
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 0.5X + 5
σY =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 169.95 和 190.6 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 169.95x2 = 190.6
P =
6.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分20%
x = 分
7.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 10.4。 如果同一研究改用 100 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 50E₁ = 10.4n₂ = 100
E₂ =
8.置信区间困难
21 根机加工轴的直径样本标准差为 2.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。
n = 21s = 2.2 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 78.5 mm，该生产线的已知标准差为 14 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 72.5 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 78.5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 40x̄₂ = 72.5 mmσ₂ = 10 mm
z =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 4。实际上均值为 99.25。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 99.25σ = 4n = 64α = 0.10
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 121Σx² = 220Σy² = 3533Σxy = 880
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (20, 48)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(20, 48)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.41
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 232/6 = 38.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−26.67)² + 12.33² + (−12.67)² + (−3.667)² + 13.33² + 17.33² = 1515
标准差
s = √(1515/5) = 17.41
答案
s = 17.41
2.描述统计
答案: P = 0.7257
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
答案
P = 0.7257
3.概率
答案: P = 0.5981
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
答案
P = 0.5981
4.概率
答案: σY = 0.4023
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |0.5|·0.8047 = 0.4023
答案
σY = 0.4023
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.05 + 5 = 5.525。
5.正态分布
答案: P = 0.839
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15
z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1.15) = 0.9641 − 0.1251 = 0.839
答案
P = 0.839
6.正态分布
答案: x = 87.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 100 − 0.84·15 = 87.4 分
答案
x = 87.4 分
7.置信区间
答案: E₂ = 7.354
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/100) = 0.7071
新的误差范围
E₂ = 10.4·0.7071 = 7.354
答案
E₂ = 7.354
8.置信区间
答案: σ = 3.177 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 20·2.2² = 96.8
σ² 的限值
96.8/34.17 = 2.833
96.8/9.591 = 10.09
σ 的限值
σ = √10.09 = 3.177 µm
答案
σ = 3.177 µm
σ 的 95% 区间：[1.683, 3.177] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: z = 2.697
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(14²/80 + 10²/40) = √4.95 = 2.225
检验统计量
z = (78.5 − 72.5)/2.225 = 2.697
答案
z = 2.697
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 41.37 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 4/√64 = 0.5
x̄c = 100 − 1.282·0.5 = 99.36
真实均值下的 z
z = (99.36 − 99.25)/0.5 = 0.218
第二类错误
功效 = P(Z < 0.218) = 58.63%
β = 100% − 58.63% = 41.37%
答案
β = 41.37%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9901
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 880 − 30·121/5 = 154
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3533 − 121²/5 = 604.8
相关系数
r = 154/√(40·604.8) = 0.9901
答案
r = 0.9901
12.线性回归与相关
答案: e = −3.05
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 275/5 = 55
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
回归直线
b = 158/40 = 3.95
a = 55 − 3.95·21 = −27.95
ŷ = −27.95 + 3.95·x
预测值
ŷ = −27.95 + 3.95·20 = 51.05
残差
e = 48 − 51.05 = −3.05
答案
e = −3.05
该点位于直线下方。
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