描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：34, 54, 51, 27, 20, 23。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值高于 178 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 178
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 4
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.1, 0.3, 0.3Y = 0.5X + 10
σY =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164 和 179.4 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 179.4
P =
6.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
7.置信区间中等
测量 13 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −8.5，标准差为 5.3。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 13d̄ = −8.5sd = 5.395%t(12) = 2.179
下限 = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 36E = 2.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 94.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 94.8s = 12n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 506.3。总体标准差为 15。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 506.3σ = 15n = 2599%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 22.5 时的 ŷ。
n = 5x = 22.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 209/6 = 34.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−0.8333)² + 19.17² + 16.17² + (−7.833)² + (−14.83)² + (−11.83)² = 1051
标准差
s = √(1051/5) = 14.5
答案
s = 14.5
2.描述统计
答案: P = 0.3446
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.4
标准正态分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
答案
P = 0.3446
3.概率
答案: P = 0.5177
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答案
P = 0.5177
4.概率
答案: σY = 1.2
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.2, Var(X) = 5.76, σX = 2.4
线性变换
σY = |0.5|·2.4 = 1.2
答案
σY = 1.2
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·3.2 + 10 = 11.6。
5.正态分布
答案: P = 0.5565
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2
中间面积
P = Φ(0.2) − Φ(−2) = 0.5793 − 0.02275 = 0.5565
答案
P = 0.5565
6.正态分布
答案: x = 41.87 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 32 + 1.645·6 = 41.87 min
答案
x = 41.87 min
7.置信区间
答案: 下限 = −11.7 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 12, t = 2.179
误差范围
E = 2.179·5.3/√13 = 3.203
区间
−8.5 ± 3.203 → [−11.7, −5.297]
答案
下限 = −11.7 mmHg
8.置信区间
答案: n = 562
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·36/2.5)² = 561.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 562
答案
n = 562
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
检验统计量
t = (94.8 − 100)/2 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 498.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·15/√25 = 7.728
区间端点
L = 506.3 − 7.728 = 498.6
答案
L = 498.6
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9981
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 385/6 = 64.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 347
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1727
相关系数
r = 347/√(70·1727) = 0.9981
答案
r = 0.9981
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 86.9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 405/5 = 81
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 354
回归直线
b = 354/90 = 3.933
a = 81 − 3.933·21 = −1.6
ŷ = −1.6 + 3.933·x
预测
ŷ = −1.6 + 3.933·22.5 = 86.9
答案
ŷ = 86.9
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