描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：34, 18, 19, 20, 53, 13。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 78 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 12x = 78
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.2, 0.15, 0.35, 0.2
Var(X) =
4.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.3
P =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 50.5 和 85 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 50.5x2 = 85
P =
6.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 139.5 h，已知标准差 17 h。型号 2：60 部手机，均值 145.5 h，已知标准差 7 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 80x̄₁ = 139.5 hσ₁ = 17 hn₂ = 60x̄₂ = 145.5 hσ₂ = 7 h95%
E = h
8.置信区间困难
总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 25E = 1.590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 11.4，差值的标准差为 11.4。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 9d̄ = 11.4sd = 11.4
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 5。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 90%δ = 2.5σ = 5zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (8, 77)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(8, 77)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.91
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 157/6 = 26.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.833² + (−8.167)² + (−7.167)² + (−6.167)² + 26.83² + (−13.17)² = 1111
标准差
s = √(1111/5) = 14.91
答案
s = 14.91
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (78 − 60)/12 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: Var(X) = 1.628
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.1 + 2·0.2 + 3·0.15 + 4·0.35 + 5·0.2 = 3.35
平方的均值
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.2 + 9·0.15 + 16·0.35 + 25·0.2 = 12.85
方差
Var(X) = 12.85 − 3.35² = 1.628
答案
Var(X) = 1.628
4.概率
答案: P = 0.113
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.711 = 0.01977
P(X = 1) = 11·0.3·0.710 = 0.09322
相加
P = 0.01977 + 0.09322 = 0.113
答案
P = 0.113
5.正态分布
答案: P = 0.9037
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (50.5 − 65)/10 = −1.45
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(−1.45) = 0.9772 − 0.07353 = 0.9037
答案
P = 0.9037
6.正态分布
答案: x = 258.2 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 250 + 1.64·5 = 258.2 g
答案
x = 258.2 g
7.置信区间
答案: E = 4.125 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 139.5 − 145.5 = −6
标准误
SE = √(17²/80 + 7²/60) = 2.105
误差范围
E = 1.96·2.105 = 4.125
答案
E = 4.125 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: n = 752
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·25/1.5)² = 751.7
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 752
答案
n = 752
9.假设检验与置信区间
答案: t = 3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 11.4/√9 = 3.8
检验统计量
t = 11.4/3.8 = 3
答案
t = 3
df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 53
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.282)·5/2.5)² = 52.07
向上取整
n = 53
答案
n = 53
11.线性回归与相关
答案: r = −0.9419
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 89/5 = 17.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94.8
相关系数
r = −29/√(10·94.8) = −0.9419
答案
r = −0.9419
12.线性回归与相关
答案: e = 4.05
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 310/5 = 62
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
回归直线
b = 146/40 = 3.65
a = 62 − 3.65·5 = 43.75
ŷ = 43.75 + 3.65·x
预测值
ŷ = 43.75 + 3.65·8 = 72.95
残差
e = 77 − 72.95 = 4.05
答案
e = 4.05
该点位于直线上方。
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