描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：24, 51, 26, 17, 45, 19。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值低于 40 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 20x = 40
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.25, 0.35, 0.15
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.1 赢得 €15，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €5€15: p = 0.1€100: p = 0.02
E(G) = €
5.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.6 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.6 mm
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 15% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
7.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 87.5，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 8x̄ = 87.5s = 795%t(7) = 2.365
下限 =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：10 块地，平均产量 37 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 28 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 10x̄₁ = 37s₁ = 4.5n₂ = 6x̄₂ = 28s₂ = 995%t(14) = 2.145
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 73.17，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 73.17s = 5n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 28。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 3σ = 28zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 62？
n = 5ŷ = 62
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.19
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 182/6 = 30.33
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−6.333)² + 20.67² + (−4.333)² + (−13.33)² + 14.67² + (−11.33)² = 1007
标准差
s = √(1007/5) = 14.19
答案
s = 14.19
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: σ = 1.02
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.25 + 2·0.35 + 3·0.15 = 1.4
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.25 + 4·0.35 + 9·0.15 = 3
方差
Var(X) = 3 − 1.4² = 1.04
σ = √1.04 = 1.02
答案
σ = 1.02
4.概率
答案: E(G) = −1.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 10 (p = 0.1), 95 (p = 0.02), −5 (p = 0.88)
期望值
E(G) = 10·0.1 + 95·0.02 − 5·0.88 = −1.5 €
答案
E(G) = −1.5 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: P = 0.1151
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (200.6 − 200)/0.5 = 1.2
上尾
P = 1 − Φ(1.2) = 1 − 0.8849 = 0.1151
答案
P = 0.1151
6.正态分布
答案: x = 170.7 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 178 − 1.04·7 = 170.7 cm
答案
x = 170.7 cm
7.置信区间
答案: 下限 = 81.65
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 2.365
误差范围
E = 2.365·7/√8 = 5.853
区间
87.5 ± 5.853 → [81.65, 93.35]
答案
下限 = 81.65
8.置信区间
答案: 下限 = 1.826 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (9·4.5² + 5·9²)/14 = 41.95
sp = 6.477
误差范围
E = 2.145·6.477·√(1/10 + 1/6) = 7.174
区间
9 ± 7.174 → [1.826, 16.17]
答案
下限 = 1.826 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.196
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333
检验统计量
t = (73.17 − 75)/0.8333 = −2.196
答案
t = −2.196
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 539
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·28/3)² = 538.8
向上取整
n = 539
答案
n = 539
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9347
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 441/6 = 73.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 257
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1010
决定系数
r² = 257²/(70·1010) = 0.9347
答案
r² = 0.9347
y 的变异中约有 93.47% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 4.412
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 274/5 = 54.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51
回归直线
b = 51/10 = 5.1
a = 54.8 − 5.1·3 = 39.5
ŷ = 39.5 + 5.1·x
解出 x
x = (62 − 39.5)/5.1 = 4.412
答案
x = 4.412
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