描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：29, 49, 33, 28, 43, 22。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。求成绩 166 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 8x = 166
z =
3.概率中等
袋中有 3 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
3 / 5
P =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.5k = 1
P =
5.正态分布中等
X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 740.2 g 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 740.2 g
P =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 99.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 99.5s = 190%t(20) = 1.725
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 21E = 395%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 24。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 76.96。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ ≠ 80。求 p 值 p。
μ₀ = 80σ = 24n = 144x̄ = 76.96H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 101.4。总体标准差为 5。求均值 90% 置信区间的下限 L。
x̄ = 101.4σ = 5n = 10090%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5, 13)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5, 13)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 10.12
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 204/6 = 34
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−5)² + 15² + (−1)² + (−6)² + 9² + (−12)² = 512
标准差
s = √(512/5) = 10.12
答案
s = 10.12
2.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (166 − 170)/8 = −0.5
答案
z = −0.5
3.概率
答案: P = 0.1071
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0.1071
答案
P = 0.1071
4.概率
答案: P = 0.1563
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 1) = 5·0.51·0.54 = 5·0.5·0.0625 = 0.1563
答案
P = 0.1563
5.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
标准化
z = (740.2 − 750)/9.849 = −1
上尾
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
6.正态分布
答案: x = 473 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h
答案
x = 473.02 h
7.置信区间
答案: 下限 = 99.12
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 1.725
误差范围
E = 1.725·1/√21 = 0.3764
区间
99.5 ± 0.3764 → [99.12, 99.88]
答案
下限 = 99.12
8.置信区间
答案: n = 189
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·21/3)² = 188.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 189
答案
n = 189
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1285
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 24/√144 = 2
z = (76.96 − 80)/2 = −1.52
尾部面积
Φ(1.52) = 0.9357
1 − Φ(1.52) = 0.0643
p 值
p = 2·0.0643 = 0.1285
答案
p = 0.1285
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 100.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·5/√100 = 0.8225
区间端点
L = 101.4 − 0.8225 = 100.6
答案
L = 100.6
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9117
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 362/5 = 72.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136
Syy = Σ(y − ȳ)² = 507.2
决定系数
r² = 136²/(40·507.2) = 0.9117
答案
r² = 0.9117
y 的变异中约有 91.17% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 3.31
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 83/6 = 13.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 145
回归直线
b = 145/70 = 2.071
a = 13.83 − 2.071·7 = −0.6667
ŷ = −0.6667 + 2.071·x
预测值
ŷ = −0.6667 + 2.071·5 = 9.69
残差
e = 13 − 9.69 = 3.31
答案
e = 3.31
该点位于直线上方。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1