统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：20, 33, 56, 16, 36, 23。

n = 6

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。求成绩 162.5 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 15x = 162.5

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.25, 0.2

σ =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 5X − 3

σ_Y =

5.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 95.4 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95.4 s

P =

6.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.置信区间中等

一个包含 21 个个体的样本，均值为 11，标准差 s = 6.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 21x̄ = 11s = 6.595%t(20) = 2.086

下限 =

8.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.4 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.025？

p ≈ 0.4E = 0.02599%

n =

9.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 51.5，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 51.5s = 10n = 64

t =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 77.7。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 80μ = 77.7σ = 10n = 100α = 0.01

1 − β = %

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 7 时的 ŷ。

n = 5x = 7

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.58

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 184/6 = 30.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10.67)² + 2.333² + 25.33² + (−14.67)² + 5.333² + (−7.667)² = 1063

标准差

s = √(1063/5) = 14.58

答案

s = 14.58

2.描述统计

答案: z = −0.5

标准化

z = (162.5 − 170)/15 = −0.5

答案

z = −0.5

3.概率

答案: σ = 10.68

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.25 + 20·0.3 + 30·0.25 + 40·0.2 = 24

平方的均值

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.3 + 900·0.25 + 1600·0.2 = 690

方差

Var(X) = 690 − 24² = 114

σ = √114 = 10.68

答案

σ = 10.68

4.概率

答案: σ_Y = 4.023

X 的离散程度

μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

线性变换

σ_Y = |5|·0.8047 = 4.023

答案

σ_Y = 4.023

均值确实会改变：E(Y) = 5·1.05 − 3 = 2.25。

5.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (95.4 − 105)/6.403 = −1.5

上尾

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

6.正态分布

答案: x = 533.7 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

答案

x = 533.66 h

7.置信区间

答案: 下限 = 8.041

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 20, t = 2.086

误差范围

E = 2.086·6.5/√21 = 2.959

区间

11 ± 2.959 → [8.041, 13.96]

答案

下限 = 8.041

8.置信区间

答案: n = 2549

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 2.576²·0.4·0.6/0.025² = 2548

向上取整

n = 2549

答案

n = 2549

9.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25

检验统计量

t = (51.5 − 50)/1.25 = 1.2

答案

t = 1.2

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 48.96 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 80 − 2.326·1 = 77.67

真实均值下的 z

z = (77.67 − 77.7)/1 = −0.026

功率

功效 = P(Z < −0.026) = 48.96%

1 − β = 48.96%

答案

1 − β = 48.96%

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9956

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 532/5 = 106.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 492

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2713

答案

r = 0.9956

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 26.05

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 114/5 = 22.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

回归直线

b = 130/40 = 3.25

a = 22.8 − 3.25·6 = 3.3

ŷ = 3.3 + 3.25·x

预测

ŷ = 3.3 + 3.25·7 = 26.05

答案

ŷ = 26.05

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