描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：32, 29, 60, 39, 60, 30, 34。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。求成绩 56 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 10x = 56
z =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 4 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 4
P =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.1 赢得 €5，以概率 0.05 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€5: p = 0.1€50: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 202.7 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 5> 202.7 g
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 114，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 8x̄ = 114s = 1099%t(7) = 3.499
E =
8.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 7.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 7.1 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 122，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 122s = 5n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 60 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 138 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 138n₂ = 300
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2.5, 25)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(2.5, 25)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.66
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 284/7 = 40.57
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−8.571)² + (−11.57)² + 19.43² + (−1.571)² + 19.43² + (−10.57)² + (−6.571)² = 1120
标准差
s = √(1120/6) = 13.66
答案
s = 13.66
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (56 − 50)/10 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: P = 0.5177
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答案
P = 0.5177
4.概率
答案: E(G) = 2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.1), 49 (p = 0.05), −1 (p = 0.85)
期望值
E(G) = 4·0.1 + 49·0.05 − 1·0.85 = 2 €
答案
E(G) = 2 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: P = 0.1562
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 200 g, σT = 1.2·√5 = 2.683 g
标准化
z = (202.7 − 200)/2.683 = 1.01
概率
P = 1 − Φ(1.01) = 0.1562
答案
P = 0.1562
6.正态分布
答案: P = 0.9099
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34
概率
P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099
答案
P = 0.9099
7.置信区间
答案: E = 12.37
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 3.499
误差范围
E = 3.499·10/√8 = 12.37
答案
E = 12.37
8.置信区间
答案: σ = 5.544 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·7.1² = 1210
σ² 的限值
1210/39.364 = 30.73
1210/12.401 = 97.56
σ 的限值
σ = √30.73 = 5.544 µm
答案
σ = 5.544 µm
σ 的 95% 区间：[5.544, 9.877] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333
检验统计量
t = (122 − 120)/0.8333 = 2.4
答案
t = 2.4
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 0.7419
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 60/120 = 0.5
p̂₂ = 138/300 = 0.46
p̂ = 198/420 = 0.4714
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4714·0.5286·(1/120 + 1/300)) = 0.05392
检验统计量
z = (0.5 − 0.46)/0.05392 = 0.7419
答案
z = 0.7419
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9483
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 82/5 = 16.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 253.2
决定系数
r² = 98²/(40·253.2) = 0.9483
答案
r² = 0.9483
y 的变异中约有 94.83% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 3.95
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
回归直线
b = −21/10 = −2.1
a = 20 − (−2.1)·3 = 26.3
ŷ = 26.3 − 2.1·x
预测值
ŷ = 26.3 + (−2.1)·2.5 = 21.05
残差
e = 25 − 21.05 = 3.95
答案
e = 3.95
该点位于直线上方。
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