统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 22, 41, 24, 20, 36。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值低于 106 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 15x = 106

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.2, 0.3, 0.3

σ =

4.概率困难

测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.1

P =

5.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.3 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.3 mm

P =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.置信区间中等

测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 6.3，标准差为 5.8。求平均差值的 95% 置信区间的上限。

n = 12d̄ = 6.3s_d = 5.895%t(11) = 2.201

上限 = mmHg

8.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.04？

p = 0.5E = 0.0499%

n =

9.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 98.38，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 98.38s = 5n = 64

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 4。求最小样本量 n。

σ = 4E = 395%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 5x = 4.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.28

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 200/6 = 33.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = 23.67² + (−11.33)² + 7.667² + (−9.333)² + (−13.33)² + 2.667² = 1019

标准差

s = √(1019/5) = 14.28

答案

s = 14.28

2.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

3.概率

答案: σ = 1.1

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.2 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.7

平方的均值

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.5

方差

Var(X) = 8.5 − 2.7² = 1.21

σ = √1.21 = 1.1

答案

σ = 1.1

4.概率

答案: P = 0.9185

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.9⁵ = 0.5905

P(X = 1) = 5·0.1·0.9⁴ = 0.3281

相加

P = 0.5905 + 0.3281 = 0.9185

答案

P = 0.9185

5.正态分布

答案: P = 0.9192

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.3 − 200)/0.5 = −1.4

上尾

P = 1 − Φ(−1.4) = 1 − 0.08076 = 0.9192

答案

P = 0.9192

6.正态分布

答案: P = 0.9452

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6

概率

P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452

答案

P = 0.9452

7.置信区间

答案: 上限 = 9.985 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 11, t = 2.201

误差范围

E = 2.201·5.8/√12 = 3.685

区间

6.3 ± 3.685 → [2.615, 9.985]

答案

上限 = 9.985 mmHg

8.置信区间

答案: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.04² = 1037

向上取整

n = 1037

答案

n = 1037

9.假设检验与置信区间

答案: t = −2.592

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

检验统计量

t = (98.38 − 100)/0.625 = −2.592

答案

t = −2.592

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 7

解出 n

n = (1.96·4/3)² = 6.83

向上取整

n = 7

答案

n = 7

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.8834

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 65.2

决定系数

r² = −24²/(10·65.2) = 0.8834

答案

r² = 0.8834

y 的变异中约有 88.34% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 13

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 83/5 = 16.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

回归直线

b = −24/10 = −2.4

a = 16.6 − (−2.4)·3 = 23.8

ŷ = 23.8 − 2.4·x

预测

ŷ = 23.8 + (−2.4)·4.5 = 13

答案

ŷ = 13

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