描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：32, 23, 15, 15, 54。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 177.5 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 5x = 177.5
z =
3.概率中等
从 8 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 8k = 5
N =
4.概率困难
一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.25k = 4
P =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 49.5 和 77.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 49.5x2 = 77.5
P =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 60% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分60%
x = 分
7.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 6.5。 用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 36E₁ = 6.590%
E₂ =
8.置信区间困难
30 根机加工轴的直径样本标准差为 2.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。
n = 30s = 2.4 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 50.7，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 50.7s = 8n = 64
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 1 个单位的偏移。标准差为 6。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 1σ = 6zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 135Σy = 628Σx² = 3195Σy² = 70420Σxy = 14982
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 14)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3.5, 14)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 139/5 = 27.8
离差平方
Σ(x − x̄)² = 4.2² + (−4.8)² + (−12.8)² + (−12.8)² + 26.2² = 1055
标准差
s = √(1055/4) = 16.24
答案
s = 16.24
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (177.5 − 170)/5 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: N = 56
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
答案
N = 56
4.概率
答案: P = 0.1168
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 126·0.254·0.755 = 126·0.003906·0.2373 = 0.1168
答案
P = 0.1168
5.正态分布
答案: P = 0.8338
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (49.5 − 65)/10 = −1.55
z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−1.55) = 0.8944 − 0.06057 = 0.8338
答案
P = 0.8338
6.正态分布
答案: x = 62.5 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 65 − 0.25·10 = 62.5 分
答案
x = 62.5 分
7.置信区间
答案: E₂ = 4.151
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(36/36) = 0.6386
新的误差范围
E₂ = 6.5·0.6386 = 4.151
答案
E₂ = 4.151
8.置信区间
答案: σ = 1.911 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 29·2.4² = 167
σ² 的限值
167/45.722 = 3.653
167/16.047 = 10.41
σ 的限值
σ = √3.653 = 1.911 µm
答案
σ = 1.911 µm
σ 的 95% 区间：[1.911, 3.226] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = 0.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
检验统计量
t = (50.7 − 50)/1 = 0.7
答案
t = 0.7
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 390
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·6/1)² = 389.7
向上取整
n = 390
答案
n = 390
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9914
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 14982 − 135·628/6 = 852
Sxx = 3195 − 135²/6 = 157.5
Syy = 70420 − 628²/6 = 4689
相关系数
r = 852/√(157.5·4689) = 0.9914
答案
r = 0.9914
12.线性回归与相关
答案: e = −4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 108/6 = 18
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37
回归直线
b = −37/17.5 = −2.114
a = 18 − (−2.114)·3.5 = 25.4
ŷ = 25.4 − 2.114·x
预测值
ŷ = 25.4 + (−2.114)·3.5 = 18
残差
e = 14 − 18 = −4
答案
e = −4
该点位于直线下方。
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