统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：19, 52, 55, 33, 31, 54, 26。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值低于 46 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 5x = 46

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.1, 0.3, 0.3

Var(X) =

4.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.6k = 2

P =

5.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 762.3 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762.3 g

P =

6.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 5% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分5%

x = 分

7.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 46，标准差 s = 8。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 30x̄ = 46s = 899%t(29) = 2.756

E =

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：19 块地，平均产量 82.5 kg，标准差 10 kg。地块组 2：7 块地，均值 77.5 kg，标准差 6 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 19x̄₁ = 82.5s₁ = 10n₂ = 7x̄₂ = 77.5s₂ = 690%t(24) = 1.711

下限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 105，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 105s = 12n = 25

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 190%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4.5 时的 ŷ。

n = 6x = 4.5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.82

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 270/7 = 38.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−19.57)² + 13.43² + 16.43² + (−5.571)² + (−7.571)² + 15.43² + (−12.57)² = 1318

标准差

s = √(1318/6) = 14.82

答案

s = 14.82

2.描述统计

答案: P = 0.2119

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答案

P = 0.2119

3.概率

答案: Var(X) = 1.44

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.6

平方的均值

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.2

方差

Var(X) = 8.2 − 2.6² = 1.44

答案

Var(X) = 1.44

4.概率

答案: P = 0.2304

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 2) = 10·0.6²·0.4³ = 10·0.36·0.064 = 0.2304

答案

P = 0.2304

5.正态分布

答案: P = 0.1056

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25

上尾

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

6.正态分布

答案: x = 81.4 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.95

由表得到的 z

z ≈ 1.64

回到原来的单位

x = 65 + 1.64·10 = 81.4 分

答案

x = 81.4 分

7.置信区间

答案: E = 4.025

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.756

误差范围

E = 2.756·8/√30 = 4.025

答案

E = 4.025

8.置信区间

答案: 下限 = −1.933 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (18·10² + 6·6²)/24 = 84

s_p = 9.165

误差范围

E = 1.711·9.165·√(1/19 + 1/7) = 6.933

区间

5 ± 6.933 → [−1.933, 11.93]

答案

下限 = −1.933 kg

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.083

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√25 = 12/5 = 2.4

检验统计量

t = (105 − 100)/2.4 = 2.083

答案

t = 2.083

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 174

解出 n

n = (1.645·8/1)² = 173.2

向上取整

n = 174

答案

n = 174

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9263

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 86/5 = 17.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 124.8

决定系数

r² = −34²/(10·124.8) = 0.9263

答案

r² = 0.9263

y 的变异中约有 92.63% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 50.18

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 334/6 = 55.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

回归直线

b = 96/17.5 = 5.486

a = 55.67 − 5.486·5.5 = 25.5

ŷ = 25.5 + 5.486·x

预测

ŷ = 25.5 + 5.486·4.5 = 50.18

答案

ŷ = 50.18

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