统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：19, 56, 44, 15, 49, 57。

n = 6

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 380 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 60x = 380

z =

3.概率中等

袋中有 7 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

7 / 5

P =

4.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.3

P =

5.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 465.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 465.9 kg

P =

6.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 15，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 6x̄ = 15s = 1095%t(5) = 2.571

上限 =

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 28.5 kg，标准差 2 kg。地块组 2：8 块地，均值 22 kg，标准差 10 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 8x̄₁ = 28.5s₁ = 2n₂ = 8x̄₂ = 22s₂ = 1090%t(14) = 1.761

上限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 498.6，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 498.6s = 8n = 64

t =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ < 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 3。实际上均值为 498.95。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 498.95σ = 3n = 36α = 0.01

β = %

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 38)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(9, 38)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 18.48

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 240/6 = 40

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−21)² + 16² + 4² + (−25)² + 9² + 17² = 1708

标准差

s = √(1708/5) = 18.48

答案

s = 18.48

2.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (380 − 500)/60 = −2

答案

z = −2

3.概率

答案: P = 0.3182

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0.3182

答案

P = 0.3182

4.概率

答案: P = 0.08503

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

相加

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

答案

P = 0.08503

5.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 510 kg, σ_T = 12·√6 = 29.39 kg

标准化

z = (465.9 − 510)/29.39 = −1.5

概率

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

答案

P = 0.9332

6.正态分布

答案: x = 241.8 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g

答案

x = 241.78 g

7.置信区间

答案: 上限 = 25.5

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 2.571

误差范围

E = 2.571·10/√6 = 10.5

区间

15 ± 10.5 → [4.504, 25.5]

答案

上限 = 25.5

8.置信区间

答案: 上限 = 12.85 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (7·2² + 7·10²)/14 = 52

s_p = 7.211

误差范围

E = 1.761·7.211·√(1/8 + 1/8) = 6.349

区间

6.5 ± 6.349 → [0.1506, 12.85]

答案

上限 = 12.85 kg

9.假设检验与置信区间

答案: t = −1.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

检验统计量

t = (498.6 − 500)/1 = −1.4

答案

t = −1.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: β = 58.94 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 3/√36 = 0.5

x̄_c = 500 − 2.326·0.5 = 498.8

真实均值下的 z

z = (498.8 − 498.95)/0.5 = −0.226

第二类错误

功效 = P(Z < −0.226) = 41.06%

β = 100% − 41.06% = 58.94%

答案

β = 58.94%

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9106

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 306/5 = 61.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 338.8

答案

r = 0.9106

12.线性回归与相关

答案: e = 3.2

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 117/5 = 23.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

回归直线

b = 152/40 = 3.8

a = 23.4 − 3.8·6 = 0.6

ŷ = 0.6 + 3.8·x

预测值

ŷ = 0.6 + 3.8·9 = 34.8

残差

e = 38 − 34.8 = 3.2

答案

e = 3.2

该点位于直线上方。

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