描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：20, 32, 20, 26, 18, 26, 57。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值高于 173 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 5x = 173
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.05, 0.3, 0.35, 0.3
σ =
4.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.7
P =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8836。求 z，保留两位小数。
A = 0.8836
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 79.5，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 13x̄ = 79.5s = 290%t(12) = 1.782
E =
8.置信区间困难
总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 20E = 295%
n =
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 12。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 118.02。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ < 120。求 p 值 p。
μ₀ = 120σ = 12n = 144x̄ = 118.02H₁: μ < μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ < 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 18。实际上均值为 491.6。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 491.6σ = 18n = 36α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (8, 69)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(8, 69)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.49
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 199/7 = 28.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−8.429)² + 3.571² + (−8.429)² + (−2.429)² + (−10.43)² + (−2.429)² + 28.57² = 1092
标准差
s = √(1092/6) = 13.49
答案
s = 13.49
2.描述统计
答案: P = 0.2743
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
3.概率
答案: σ = 0.8888
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.05 + 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.3 = 1.9
平方的均值
E(X²) = 0·0.05 + 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.3 = 4.4
方差
Var(X) = 4.4 − 1.9² = 0.79
σ = √0.79 = 0.8888
答案
σ = 0.8888
4.概率
答案: P = 0.003791
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.37 = 0.0002187
P(X = 1) = 7·0.7·0.36 = 0.003572
相加
P = 0.0002187 + 0.003572 = 0.003791
答案
P = 0.003791
5.正态分布
答案: z = 1.57
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8836)/2 = 0.9418
反向查 z 表
在表中找到 0.9418，读出 z。
z = 1.57
答案
z = 1.57
6.正态分布
答案: P = 0.8133
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89
概率
P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133
答案
P = 0.8133
7.置信区间
答案: E = 0.9885
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 1.782
误差范围
E = 1.782·2/√13 = 0.9885
答案
E = 0.9885
8.置信区间
答案: n = 385
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·20/2)² = 384.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 385
答案
n = 385
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.02385
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (118.02 − 120)/1 = −1.98
尾部面积
Φ(1.98) = 0.9761
1 − Φ(1.98) = 0.0239
p 值
p = 0.02385
答案
p = 0.02385
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 87.6 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 500 − 1.645·3 = 495.1
真实均值下的 z
z = (495.1 − 491.6)/3 = 1.155
功率
功效 = P(Z < 1.155) = 87.6%
1 − β = 87.6%
答案
1 − β = 87.6%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9841
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 636/5 = 127.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 600
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4065
决定系数
r² = 600²/(90·4065) = 0.9841
答案
r² = 0.9841
y 的变异中约有 98.41% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 4.1
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 300/5 = 60
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196
回归直线
b = 196/40 = 4.9
a = 60 − 4.9·7 = 25.7
ŷ = 25.7 + 4.9·x
预测值
ŷ = 25.7 + 4.9·8 = 64.9
残差
e = 69 − 64.9 = 4.1
答案
e = 4.1
该点位于直线上方。
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