描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：28, 32, 59, 57, 12。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值高于 152 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 15x = 152
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.3, 0.25, 0.15
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.3 赢得 €40，以概率 0.02 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €10€40: p = 0.3€500: p = 0.02
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.4108。求 z，保留两位小数。
A = 0.4108
z =
6.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 75%
x = 分
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 96.5 h，已知标准差 10 h。型号 2：50 部手机，均值 110.5 h，已知标准差 16 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 60x̄₁ = 96.5 hσ₁ = 10 hn₂ = 50x̄₂ = 110.5 hσ₂ = 16 h95%
下限 = h
8.置信区间困难
21 根机加工轴的直径样本标准差为 3.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。
n = 21s = 3.5 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 39.5，标准差 6。第 2 组：19 名学生，平均分 44.5，标准差 9.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 7x̄₁ = 39.5s₁ = 6n₂ = 19x̄₂ = 44.5s₂ = 9.5
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 90 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 56 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 90n₁ = 300x₂ = 56n₂ = 150
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 248Σx² = 91Σy² = 10854Σxy = 969
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 6x = 2.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 20.08
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 188/5 = 37.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−9.6)² + (−5.6)² + 21.4² + 19.4² + (−25.6)² = 1613
标准差
s = √(1613/4) = 20.08
答案
s = 20.08
2.描述统计
答案: P = 0.8849
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.2
标准正态分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
答案
P = 0.8849
3.概率
答案: σ = 2.086
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 2·0.3 + 4·0.25 + 6·0.15 = 2.5
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 4·0.3 + 16·0.25 + 36·0.15 = 10.6
方差
Var(X) = 10.6 − 2.5² = 4.35
σ = √4.35 = 2.086
答案
σ = 2.086
4.概率
答案: E(G) = 12 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 30 (p = 0.3), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.68)
期望值
E(G) = 30·0.3 + 490·0.02 − 10·0.68 = 12 €
答案
E(G) = 12 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = 0.54
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.4108)/2 = 0.7054
反向查 z 表
在表中找到 0.7054，读出 z。
z = 0.54
答案
z = 0.54
6.正态分布
答案: x = 71.75 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 分
答案
x = 71.75 分
7.置信区间
答案: 下限 = −19.11 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 96.5 − 110.5 = −14
标准误
SE = √(10²/60 + 16²/50) = 2.605
误差范围
E = 1.96·2.605 = 5.106
区间
−14 ± 5.106 → [−19.11, −8.894]
答案
下限 = −19.11 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: σ = 5.054 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 20·3.5² = 245
σ² 的限值
245/34.17 = 7.17
245/9.591 = 25.54
σ 的限值
σ = √25.54 = 5.054 µm
答案
σ = 5.054 µm
σ 的 95% 区间：[2.678, 5.054] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.291
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (6·6² + 18·9.5²)/24 = 76.69
sp = 8.757
标准误
SE = 8.757·√(1/7 + 1/19) = 3.872
检验统计量
t = (39.5 − 44.5)/3.872 = −1.291
答案
t = −1.291
df = 24 时，双侧 5% 的临界值为 2.064；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −1.566
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 90/300 = 0.3
p̂₂ = 56/150 = 0.3733
p̂ = 146/450 = 0.3244
H₀ 下的标准误
SE = √(0.3244·0.6756·(1/300 + 1/150)) = 0.04682
检验统计量
z = (0.3 − 0.3733)/0.04682 = −1.566
答案
z = −1.566
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9829
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 969 − 21·248/6 = 101
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 10854 − 248²/6 = 603.3
相关系数
r = 101/√(17.5·603.3) = 0.9829
答案
r = 0.9829
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 24.74
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 139/6 = 23.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27.5
回归直线
b = −27.5/17.5 = −1.571
a = 23.17 − (−1.571)·3.5 = 28.67
ŷ = 28.67 − 1.571·x
预测
ŷ = 28.67 + (−1.571)·2.5 = 24.74
答案
ŷ = 24.74
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