统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：51, 19, 29, 52, 34, 13, 22。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值高于 162 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 10x = 162

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.2, 0.05, 0.35

σ =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €4，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€4: p = 0.15€20: p = 0.05

E(G) = €

5.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 759.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759.8 g

P =

6.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 25%

x = 分

7.置信区间中等

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 6.4。如果同一研究改用 50 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 25E₁ = 6.4n₂ = 50

E₂ =

8.置信区间困难

25 根机加工轴的直径样本标准差为 3.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。

n = 25s = 3.5 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 493.4，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 493.4s = 15n = 49

t =

10.假设检验与置信区间困难

36 次测量的样本均值为 500.3。总体标准差为 10。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 500.3σ = 10n = 3699%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 65？

n = 6ŷ = 65

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 15.28

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 220/7 = 31.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 19.57² + (−12.43)² + (−2.429)² + 20.57² + 2.571² + (−18.43)² + (−9.429)² = 1402

标准差

s = √(1402/6) = 15.28

答案

s = 15.28

2.描述统计

答案: P = 0.7881

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

3.概率

答案: σ = 1.503

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.15 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.05 + 4·0.35 = 2.2

平方的均值

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.05 + 16·0.35 = 7.1

方差

Var(X) = 7.1 − 2.2² = 2.26

σ = √2.26 = 1.503

答案

σ = 1.503

4.概率

答案: E(G) = 0.6 €

净结果

G: 3 (p = 0.15), 19 (p = 0.05), −1 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 3·0.15 + 19·0.05 − 1·0.8 = 0.6 €

答案

E(G) = 0.6 €

正值表示平均而言你会赢钱。

5.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (759.8 − 750)/9.849 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

6.正态分布

答案: x = 89.88 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 分

答案

x = 89.88 分

7.置信区间

答案: E₂ = 4.525

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(25/50) = 0.7071

新的误差范围

E₂ = 6.4·0.7071 = 4.525

答案

E₂ = 4.525

8.置信区间

答案: σ = 4.869 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 24·3.5² = 294

σ² 的限值

294/39.364 = 7.469

294/12.401 = 23.71

σ 的限值

σ = √23.71 = 4.869 µm

答案

σ = 4.869 µm

σ 的 95% 区间：[2.733, 4.869] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = −3.08

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

检验统计量

t = (493.4 − 500)/2.143 = −3.08

答案

t = −3.08

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 504.6

误差范围

E = 2.576·10/√36 = 4.293

区间端点

U = 500.3 + 4.293 = 504.6

答案

U = 504.6

11.线性回归与相关

答案: r = −0.933

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 108/5 = 21.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 33.2

答案

r = −0.933

12.线性回归与相关

答案: x = 3.957

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 565/6 = 94.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 505

回归直线

b = 505/70 = 7.214

a = 94.17 − 7.214·8 = 36.45

ŷ = 36.45 + 7.214·x

解出 x

x = (65 − 36.45)/7.214 = 3.957

答案

x = 3.957

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