统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 44, 28, 48, 41。

n = 5

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值低于 190 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 10x = 190

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

σ =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €10，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€10: p = 0.15€40: p = 0.01

E(G) = €

5.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 30.5 和 39.5 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 30.5x₂ = 39.5

P =

6.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 60% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 74 h，已知标准差 6 h。型号 2：100 部手机，均值 67.5 h，已知标准差 18 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 60x̄₁ = 74 hσ₁ = 6 hn₂ = 100x̄₂ = 67.5 hσ₂ = 18 h90%

下限 = h

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 33 kg，标准差 3.5 kg。地块组 2：7 块地，均值 24 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 7x̄₁ = 33s₁ = 3.5n₂ = 7x̄₂ = 24s₂ = 4.595%t(12) = 2.179

E = kg

9.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 495.5，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 495.5s = 20n = 64

t =

10.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 101。总体标准差为 4。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 101σ = 4n = 10099%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 76？

n = 5ŷ = 76

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 8.562

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 192/5 = 38.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−7.4)² + 5.6² + (−10.4)² + 9.6² + 2.6² = 293.2

标准差

s = √(293.2/4) = 8.562

答案

s = 8.562

2.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

答案

P = 0.9772

3.概率

答案: σ = 0.8047

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

方差

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

答案

σ = 0.8047

4.概率

答案: E(G) = −0.1 €

净结果

G: 8 (p = 0.15), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.84)

期望值

E(G) = 8·0.15 + 38·0.01 − 2·0.84 = −0.1 €

答案

E(G) = −0.1 €

负值表示平均而言你会亏钱。

5.正态分布

答案: P = 0.4931

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (30.5 − 32)/6 = −0.25

z₂ = (39.5 − 32)/6 = 1.25

中间面积

P = Φ(1.25) − Φ(−0.25) = 0.8944 − 0.4013 = 0.4931

答案

P = 0.4931

6.正态分布

答案: x = 176.3 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.4

由表得到的 z

z ≈ −0.25

回到原来的单位

x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm

答案

x = 176.3 cm

7.置信区间

答案: 下限 = 3.276 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 74 − 67.5 = 6.5

标准误

SE = √(6²/60 + 18²/100) = 1.96

误差范围

E = 1.645·1.96 = 3.224

区间

6.5 ± 3.224 → [3.276, 9.724]

答案

下限 = 3.276 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

8.置信区间

答案: E = 4.695 kg

合并标准差

s_p² = (6·3.5² + 6·4.5²)/12 = 16.25

s_p = 4.031

误差范围

E = 2.179·4.031·√(1/7 + 1/7) = 4.695

答案

E = 4.695 kg

9.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

检验统计量

t = (495.5 − 500)/2.5 = −1.8

答案

t = −1.8

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 102

误差范围

E = 2.576·4/√100 = 1.03

区间端点

U = 101 + 1.03 = 102

答案

U = 102

11.线性回归与相关

答案: r = −0.9961

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 103.2

答案

r = −0.9961

12.线性回归与相关

答案: x = 6.037

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 406/5 = 81.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

回归直线

b = 216/40 = 5.4

a = 81.2 − 5.4·7 = 43.4

ŷ = 43.4 + 5.4·x

解出 x

x = (76 − 43.4)/5.4 = 6.037

答案

x = 6.037

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