描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：55, 42, 15, 26, 31, 28, 54。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 20 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 15x = 20
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.3, 0.3, 0.25
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €2，以概率 0.01 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€2: p = 0.15€10: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9834。求 z，保留两位小数。
A = 0.9834
z =
6.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.置信区间中等
测量 9 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 5.1，标准差为 3.1。 求平均差值的 90% 置信区间的上限。
n = 9d̄ = 5.1sd = 3.190%t(8) = 1.86
上限 = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 25E = 390%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 20，标准差 3.5。第 2 组：9 名学生，平均分 27.5，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 5x̄₁ = 20s₁ = 3.5n₂ = 9x̄₂ = 27.5s₂ = 4
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 163 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 77 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 77n₂ = 100
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 75Σx² = 220Σy² = 1255Σxy = 520
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 6x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 251/7 = 35.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = 19.14² + 6.143² + (−20.86)² + (−9.857)² + (−4.857)² + (−7.857)² + 18.14² = 1351
标准差
s = √(1351/6) = 15
答案
s = 15
2.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答案
P = 0.02275
3.概率
答案: σ = 1.014
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.25 = 1.65
平方的均值
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.25 = 3.75
方差
Var(X) = 3.75 − 1.65² = 1.028
σ = √1.028 = 1.014
答案
σ = 1.014
4.概率
答案: E(G) = −0.6 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 1 (p = 0.15), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.84)
期望值
E(G) = 1·0.15 + 9·0.01 − 1·0.84 = −0.6 €
答案
E(G) = −0.6 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: z = −2.13
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9834 = 0.0166
反向查 z 表
在表中找到 0.0166，读出 z。
z = −2.13
答案
z = −2.13
6.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
7.置信区间
答案: 上限 = 7.022 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 8, t = 1.86
误差范围
E = 1.86·3.1/√9 = 1.922
区间
5.1 ± 1.922 → [3.178, 7.022]
答案
上限 = 7.022 mmHg
8.置信区间
答案: n = 188
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·25/3)² = 187.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 188
答案
n = 188
9.假设检验与置信区间
答案: t = −3.501
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (4·3.5² + 8·4²)/12 = 14.75
sp = 3.841
标准误
SE = 3.841·√(1/5 + 1/9) = 2.142
检验统计量
t = (20 − 27.5)/2.142 = −3.501
答案
t = −3.501
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −2.148
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 163/250 = 0.652
p̂₂ = 77/100 = 0.77
p̂ = 240/350 = 0.6857
H₀ 下的标准误
SE = √(0.6857·0.3143·(1/250 + 1/100)) = 0.05493
检验统计量
z = (0.652 − 0.77)/0.05493 = −2.148
答案
z = −2.148
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9707
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 520 − 30·75/5 = 70
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1255 − 75²/5 = 130
相关系数
r = 70/√(40·130) = 0.9707
答案
r = 0.9707
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 65.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 393/6 = 65.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83.5
回归直线
b = 83.5/17.5 = 4.771
a = 65.5 − 4.771·3.5 = 48.8
ŷ = 48.8 + 4.771·x
预测
ŷ = 48.8 + 4.771·3.5 = 65.5
答案
ŷ = 65.5
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