描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：17, 35, 60, 55, 53。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。求成绩 112 的 z 分数 z。
μ = 100σ = 12x = 112
z =
3.概率中等
从 13 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 13k = 4
N =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.3Y = 2X − 3
σY =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 25.1 和 41.3 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 25.1x2 = 41.3
P =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分10%
x = 分
7.置信区间中等
基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 4.4。 如果同一研究改用 100 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 25E₁ = 4.4n₂ = 100
E₂ =
8.置信区间困难
16 根机加工轴的直径样本标准差为 11.9 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。
n = 16s = 11.9 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：24 名学生，平均分 111，标准差 11。第 2 组：7 名学生，平均分 107.6，标准差 2。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 24x̄₁ = 111s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 107.6s₂ = 2
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 63 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 47 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 63n₁ = 250x₂ = 47n₂ = 150
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 63？
n = 5ŷ = 63
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 17.8
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 220/5 = 44
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−27)² + (−9)² + 16² + 11² + 9² = 1268
标准差
s = √(1268/4) = 17.8
答案
s = 17.8
2.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (112 − 100)/12 = 1
答案
z = 1
3.概率
答案: N = 715
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715
答案
N = 715
4.概率
答案: σY = 1.987
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.75, Var(X) = 0.9875, σX = 0.9937
线性变换
σY = |2|·0.9937 = 1.987
答案
σY = 1.987
均值确实会改变：E(Y) = 2·1.75 − 3 = 0.5。
5.正态分布
答案: P = 0.8144
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (25.1 − 32)/6 = −1.15
z₂ = (41.3 − 32)/6 = 1.55
中间面积
P = Φ(1.55) − Φ(−1.15) = 0.9394 − 0.1251 = 0.8144
答案
P = 0.8144
6.正态分布
答案: x = 52.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 65 − 1.28·10 = 52.2 分
答案
x = 52.2 分
7.置信区间
答案: E₂ = 2.2
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(25/100) = 0.5
新的误差范围
E₂ = 4.4·0.5 = 2.2
答案
E₂ = 2.2
8.置信区间
答案: σ = 8.791 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 15·11.9² = 2124
σ² 的限值
2124/27.488 = 77.28
2124/6.262 = 339.2
σ 的限值
σ = √77.28 = 8.791 µm
答案
σ = 8.791 µm
σ 的 95% 区间：[8.791, 18.42] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = 0.8045
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (23·11² + 6·2²)/29 = 96.79
sp = 9.838
标准误
SE = 9.838·√(1/24 + 1/7) = 4.226
检验统计量
t = (111 − 107.6)/4.226 = 0.8045
答案
t = 0.8045
df = 29 时，双侧 5% 的临界值为 2.045；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −1.33
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 63/250 = 0.252
p̂₂ = 47/150 = 0.3133
p̂ = 110/400 = 0.275
H₀ 下的标准误
SE = √(0.275·0.725·(1/250 + 1/150)) = 0.04612
检验统计量
z = (0.252 − 0.3133)/0.04612 = −1.33
答案
z = −1.33
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9677
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 458/5 = 91.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 378
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1695
相关系数
r = 378/√(90·1695) = 0.9677
答案
r = 0.9677
12.线性回归与相关
答案: x = 4.046
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 411/5 = 82.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260
回归直线
b = 260/40 = 6.5
a = 82.2 − 6.5·7 = 36.7
ŷ = 36.7 + 6.5·x
解出 x
x = (63 − 36.7)/6.5 = 4.046
答案
x = 4.046
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