描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：47, 12, 33, 16, 17, 25。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。数值高于 440 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 60x = 440
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.35, 0.35, 0.15, 0.05
σ =
4.概率困难
测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.7
P =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164.35 和 185 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 164.35x2 = 185
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 101，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 20x̄ = 101s = 1299%t(19) = 2.861
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 29E = 199%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 60，标准差 2.5。第 2 组：9 名学生，平均分 63.7，标准差 10。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 5x̄₁ = 60s₁ = 2.5n₂ = 9x̄₂ = 63.7s₂ = 10
t =
10.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 56.7。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 56.7σ = 12n = 2599%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 100Σy = 354Σx² = 2040Σy² = 25628Σxy = 7226
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 7 时的 ŷ。
n = 6x = 7
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.13
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 150/6 = 25
离差平方
Σ(x − x̄)² = 22² + (−13)² + 8² + (−9)² + (−8)² + 0² = 862
标准差
s = √(862/5) = 13.13
答案
s = 13.13
2.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.概率
答案: σ = 1.005
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.1 + 2·0.35 + 3·0.35 + 4·0.15 + 5·0.05 = 2.7
平方的均值
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.35 + 9·0.35 + 16·0.15 + 25·0.05 = 8.3
方差
Var(X) = 8.3 − 2.7² = 1.01
σ = √1.01 = 1.005
答案
σ = 1.005
4.概率
答案: P = 0.000433
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.39 = 1.968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0.7·0.38 = 0.0004133
相加
P = 1.968 × 10⁻⁵ + 0.0004133 = 0.000433
答案
P = 0.000433
5.正态分布
答案: P = 0.8158
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (164.35 − 178)/7 = −1.95
z₂ = (185 − 178)/7 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(−1.95) = 0.8413 − 0.02559 = 0.8158
答案
P = 0.8158
6.正态分布
答案: P = 0.8849
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2
概率
P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849
答案
P = 0.8849
7.置信区间
答案: 下限 = 93.32
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·12/√20 = 7.677
区间
101 ± 7.677 → [93.32, 108.7]
答案
下限 = 93.32
8.置信区间
答案: n = 5581
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·29/1)² = 5581
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 5581
答案
n = 5581
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.8
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (4·2.5² + 8·10²)/12 = 68.75
sp = 8.292
标准误
SE = 8.292·√(1/5 + 1/9) = 4.625
检验统计量
t = (60 − 63.7)/4.625 = −0.8
答案
t = −0.8
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 50.52
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·12/√25 = 6.182
区间端点
L = 56.7 − 6.182 = 50.52
答案
L = 50.52
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9713
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 7226 − 100·354/5 = 146
Sxx = 2040 − 100²/5 = 40
Syy = 25628 − 354²/5 = 564.8
相关系数
r = 146/√(40·564.8) = 0.9713
答案
r = 0.9713
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 61.83
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 371/6 = 61.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209
回归直线
b = 209/70 = 2.986
a = 61.83 − 2.986·7 = 40.93
ŷ = 40.93 + 2.986·x
预测
ŷ = 40.93 + 2.986·7 = 61.83
答案
ŷ = 61.83
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