描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：36, 56, 29, 44, 18, 42。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。求成绩 54.8 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 8x = 54.8
z =
3.概率中等
袋中有 3 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
3 / 8
P =
4.概率困难
一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.3k = 4
P =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 60.5 和 85.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 60.5x2 = 85.5
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.置信区间中等
测量 9 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3.8，标准差为 1.1。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 9d̄ = 3.8sd = 1.195%t(8) = 2.306
下限 = mmHg
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.2 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p ≈ 0.2E = 0.0390%
n =
9.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 197.6，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 197.6s = 12n = 49
t =
10.假设检验与置信区间困难
16 次测量的样本均值为 113.3。总体标准差为 15。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 113.3σ = 15n = 1699%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3.5 时的 ŷ。
n = 6x = 3.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.11
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 225/6 = 37.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−1.5)² + 18.5² + (−8.5)² + 6.5² + (−19.5)² + 4.5² = 859.5
标准差
s = √(859.5/5) = 13.11
答案
s = 13.11
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (54.8 − 50)/8 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: P = 0.05455
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0.05455
答案
P = 0.05455
4.概率
答案: P = 0.2311
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 4) = 495·0.34·0.78 = 495·0.0081·0.05765 = 0.2311
答案
P = 0.2311
5.正态分布
答案: P = 0.6535
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (60.5 − 65)/10 = −0.45
z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(−0.45) = 0.9798 − 0.3264 = 0.6535
答案
P = 0.6535
6.正态分布
答案: P = 0.8264
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94
概率
P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264
答案
P = 0.8264
7.置信区间
答案: 下限 = 2.954 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·1.1/√9 = 0.8455
区间
3.8 ± 0.8455 → [2.954, 4.646]
答案
下限 = 2.954 mmHg
8.置信区间
答案: n = 482
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.2·0.8/0.03² = 481.1
向上取整
n = 482
答案
n = 482
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
检验统计量
t = (197.6 − 200)/1.714 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 123
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·15/√16 = 9.66
区间端点
U = 113.3 + 9.66 = 123
答案
U = 123
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9343
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 47.2
决定系数
r² = −21²/(10·47.2) = 0.9343
答案
r² = 0.9343
y 的变异中约有 93.43% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 63.67
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 382/6 = 63.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 123
回归直线
b = 123/17.5 = 7.029
a = 63.67 − 7.029·3.5 = 39.07
ŷ = 39.07 + 7.029·x
预测
ŷ = 39.07 + 7.029·3.5 = 63.67
答案
ŷ = 63.67
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