统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：26, 27, 13, 13, 46, 10, 11。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。求成绩 450 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 50x = 450

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.05, 0.35, 0.05

Var(X) =

4.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.2

P =

5.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 76 和 122.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 122.5

P =

6.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 118，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 8x̄ = 118s = 3.590%t(7) = 1.895

下限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 5。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 5E = 0.590%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 90 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 94 mm，已知标准差为 3 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 90 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 100x̄₂ = 94 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 495.2。总体标准差为 15。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 495.2σ = 15n = 8199%

U =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 21Σy = 343Σx² = 91Σy² = 20031Σxy = 1279

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 5 时的 ŷ。

n = 6x = 5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 13.13

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 146/7 = 20.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = 5.143² + 6.143² + (−7.857)² + (−7.857)² + 25.14² + (−10.86)² + (−9.857)² = 1035

标准差

s = √(1035/6) = 13.13

答案

s = 13.13

2.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (450 − 500)/50 = −1

答案

z = −1

3.概率

答案: Var(X) = 1.948

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.2 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.05 = 1.55

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.2 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.05 = 4.35

方差

Var(X) = 4.35 − 1.55² = 1.948

答案

Var(X) = 1.948

4.概率

答案: P = 0.2749

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.8¹² = 0.06872

P(X = 1) = 12·0.2·0.8¹¹ = 0.2062

相加

P = 0.06872 + 0.2062 = 0.2749

答案

P = 0.2749

5.正态分布

答案: P = 0.8784

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (76 − 100)/15 = −1.6

z₂ = (122.5 − 100)/15 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−1.6) = 0.9332 − 0.0548 = 0.8784

答案

P = 0.8784

6.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

7.置信区间

答案: 下限 = 115.7

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·3.5/√8 = 2.345

区间

118 ± 2.345 → [115.7, 120.3]

答案

下限 = 115.7

8.置信区间

答案: n = 271

解出 n

n = (1.645·5/0.5)² = 270.6

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 271

答案

n = 271

9.假设检验与置信区间

答案: z = −1.212

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(18²/30 + 3²/100) = √10.89 = 3.3

检验统计量

z = (90 − 94)/3.3 = −1.212

答案

z = −1.212

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: U = 499.5

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·15/√81 = 4.293

区间端点

U = 495.2 + 4.293 = 499.5

答案

U = 499.5

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9126

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1279 − 21·343/6 = 78.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 20031 − 343²/6 = 422.8

答案

r = 0.9126

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 16.39

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 134/6 = 22.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

回归直线

b = 208/70 = 2.971

a = 22.33 − 2.971·7 = 1.533

ŷ = 1.533 + 2.971·x

预测

ŷ = 1.533 + 2.971·5 = 16.39

答案

ŷ = 16.39

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