统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：18, 18, 53, 28, 56。

n = 5

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。求成绩 40 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 20x = 40

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.2, 0.15, 0.3

Var(X) =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = −2X + 1。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.35, 0.25, 0.2Y = −2X + 1

σ_Y =

5.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.3 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.3 mm

P =

6.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 81 h，已知标准差 15 h。型号 2：100 部手机，均值 71.5 h，已知标准差 9 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 60x̄₁ = 81 hσ₁ = 15 hn₂ = 100x̄₂ = 71.5 hσ₂ = 9 h99%

上限 = h

8.置信区间困难

15 根机加工轴的直径样本标准差为 6.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。

n = 15s = 6.5 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 490.7，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 490.7s = 15n = 25

t =

10.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 69.6。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 69.6σ = 12n = 1690%

L =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 9 时的 ŷ。

n = 6x = 9

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 18.65

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 173/5 = 34.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.6)² + (−16.6)² + 18.4² + (−6.6)² + 21.4² = 1391

标准差

s = √(1391/4) = 18.65

答案

s = 18.65

2.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (40 − 60)/20 = −1

答案

z = −1

3.概率

答案: Var(X) = 1.54

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.2 + 2·0.15 + 3·0.3 = 1.4

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.2 + 4·0.15 + 9·0.3 = 3.5

方差

Var(X) = 3.5 − 1.4² = 1.54

答案

Var(X) = 1.54

4.概率

答案: σ_Y = 4.094

X 的离散程度

μ = 2.9, Var(X) = 4.19, σ_X = 2.047

线性变换

σ_Y = |−2|·2.047 = 4.094

答案

σ_Y = 4.094

均值确实会改变：E(Y) = −2·2.9 + 1 = −4.8。

5.正态分布

答案: P = 0.9192

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.3 − 200)/0.5 = −1.4

上尾

P = 1 − Φ(−1.4) = 1 − 0.08076 = 0.9192

答案

P = 0.9192

6.正态分布

答案: x = 172.1 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 178 − 0.84·7 = 172.1 cm

答案

x = 172.1 cm

7.置信区间

答案: 上限 = 15 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 81 − 71.5 = 9.5

标准误

SE = √(15²/60 + 9²/100) = 2.135

误差范围

E = 2.576·2.135 = 5.501

区间

9.5 ± 5.501 → [3.999, 15]

答案

上限 = 15 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

8.置信区间

答案: σ = 4.759 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 14·6.5² = 591.5

σ² 的限值

591.5/26.119 = 22.65

591.5/5.629 = 105.1

σ 的限值

σ = √22.65 = 4.759 µm

答案

σ = 4.759 µm

σ 的 95% 区间：[4.759, 10.25] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = −3.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

检验统计量

t = (490.7 − 500)/3 = −3.1

答案

t = −3.1

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: L = 64.66

误差范围

E = 1.645·12/√16 = 4.935

区间端点

L = 69.6 − 4.935 = 64.66

答案

L = 64.66

11.线性回归与相关

答案: r = 0.9776

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 71/6 = 11.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 121

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 218.8

答案

r = 0.9776

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 24.37

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 114/6 = 19

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

回归直线

b = 188/70 = 2.686

a = 19 − 2.686·7 = 0.2

ŷ = 0.2 + 2.686·x

预测

ŷ = 0.2 + 2.686·9 = 24.37

答案

ŷ = 24.37

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