统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：14, 12, 54, 31, 51, 34, 49。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。数值高于 63.2 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 8x = 63.2

P =

3.概率中等

一颗均匀骰子掷 5 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 5

P =

4.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.3k = 2

P =

5.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 172.75 和 179.75 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 172.75x₂ = 179.75

P =

6.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 10%

x = 分

7.置信区间中等

一个包含 25 个个体的样本，均值为 110.5，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 25x̄ = 110.5s = 1290%t(24) = 1.711

下限 =

8.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：15 块地，平均产量 27 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 35.5 kg，标准差 3.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 15x̄₁ = 27s₁ = 2.5n₂ = 6x̄₂ = 35.5s₂ = 3.599%t(19) = 2.861

下限 = kg

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 80.5 mm，该生产线的已知标准差为 17 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 92.4 mm，已知标准差为 18 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 80.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 40x̄₂ = 92.4 mmσ₂ = 18 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 25。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 5σ = 25z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 9 时的 ŷ。

n = 5x = 9

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 17.32

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 245/7 = 35

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−21)² + (−23)² + 19² + (−4)² + 16² + (−1)² + 14² = 1800

标准差

s = √(1800/6) = 17.32

答案

s = 17.32

2.描述统计

答案: P = 0.3446

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答案

P = 0.3446

3.概率

答案: P = 0.5981

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

答案

P = 0.5981

4.概率

答案: P = 0.3087

二项分布公式

P(X = 2) = 10·0.3²·0.7³ = 10·0.09·0.343 = 0.3087

答案

P = 0.3087

5.正态分布

答案: P = 0.3721

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (172.75 − 178)/7 = −0.75

z₂ = (179.75 − 178)/7 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−0.75) = 0.5987 − 0.2266 = 0.3721

答案

P = 0.3721

6.正态分布

答案: x = 52.18 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分

答案

x = 52.18 分

7.置信区间

答案: 下限 = 106.4

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 24, t = 1.711

误差范围

E = 1.711·12/√25 = 4.106

区间

110.5 ± 4.106 → [106.4, 114.6]

答案

下限 = 106.4

8.置信区间

答案: 下限 = −12.37 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (14·2.5² + 5·3.5²)/19 = 7.829

s_p = 2.798

误差范围

E = 2.861·2.798·√(1/15 + 1/6) = 3.867

区间

−8.5 ± 3.867 → [−12.37, −4.633]

答案

下限 = −12.37 kg

9.假设检验与置信区间

答案: z = −3.194

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(17²/50 + 18²/40) = √13.88 = 3.726

检验统计量

z = (80.5 − 92.4)/3.726 = −3.194

答案

z = −3.194

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 251

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·25/5)² = 250.9

向上取整

n = 251

答案

n = 251

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9881

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 119/6 = 19.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 185

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 494.8

决定系数

r² = 185²/(70·494.8) = 0.9881

答案

r² = 0.9881

y 的变异中约有 98.81% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 37.75

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

回归直线

b = 170/40 = 4.25

a = 25 − 4.25·6 = −0.5

ŷ = −0.5 + 4.25·x

预测

ŷ = −0.5 + 4.25·9 = 37.75

答案

ŷ = 37.75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1