描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：60, 46, 58, 56, 26, 43。
n = 6
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。数值高于 590 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 60x = 590
P =
3.概率中等
袋中有 5 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
5 / 7
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.25, 0.3, 0.2Y = 10X + 1
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9070。求 z，保留两位小数。
A = 0.9070
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 93 h，已知标准差 12 h。型号 2：100 部手机，均值 95.5 h，已知标准差 18 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 100x̄₁ = 93 hσ₁ = 12 hn₂ = 100x̄₂ = 95.5 hσ₂ = 18 h95%
下限 = h
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：10 块地，平均产量 58.5 kg，标准差 5 kg。地块组 2：12 块地，均值 47.5 kg，标准差 7.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 10x̄₁ = 58.5s₁ = 5n₂ = 12x̄₂ = 47.5s₂ = 7.590%t(20) = 1.725
E = kg
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 36.5，标准差 5。第 2 组：14 名学生，平均分 29.4，标准差 7。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 8x̄₁ = 36.5s₁ = 5n₂ = 14x̄₂ = 29.4s₂ = 7
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 25。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 90%δ = 4σ = 25zα = 2.326zβ = 1.282
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 50？
n = 5ŷ = 50
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.81
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 289/6 = 48.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = 11.83² + (−2.167)² + 9.833² + 7.833² + (−22.17)² + (−5.167)² = 820.8
标准差
s = √(820.8/5) = 12.81
答案
s = 12.81
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: P = 0.1515
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0.1515
答案
P = 0.1515
4.概率
答案: σY = 107.1
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 24.5, Var(X) = 114.8, σX = 10.71
线性变换
σY = |10|·10.71 = 107.1
答案
σY = 107.1
均值确实会改变：E(Y) = 10·24.5 + 1 = 246。
5.正态分布
答案: z = 1.68
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9070)/2 = 0.9535
反向查 z 表
在表中找到 0.9535，读出 z。
z = 1.68
答案
z = 1.68
6.正态分布
答案: P = 0.8554
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06
概率
P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554
答案
P = 0.8554
7.置信区间
答案: 下限 = −6.74 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 93 − 95.5 = −2.5
标准误
SE = √(12²/100 + 18²/100) = 2.163
误差范围
E = 1.96·2.163 = 4.24
区间
−2.5 ± 4.24 → [−6.74, 1.74]
答案
下限 = −6.74 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
8.置信区间
答案: E = 4.797 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (9·5² + 11·7.5²)/20 = 42.19
sp = 6.495
误差范围
E = 1.725·6.495·√(1/10 + 1/12) = 4.797
答案
E = 4.797 kg
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.514
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (7·5² + 13·7²)/20 = 40.6
sp = 6.372
标准误
SE = 6.372·√(1/8 + 1/14) = 2.824
检验统计量
t = (36.5 − 29.4)/2.824 = 2.514
答案
t = 2.514
df = 20 时，双侧 5% 的临界值为 2.086；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 509
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.282)·25/4)² = 508.5
向上取整
n = 509
答案
n = 509
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.8099
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 156/5 = 31.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 96.8
决定系数
r² = 28²/(10·96.8) = 0.8099
答案
r² = 0.8099
y 的变异中约有 80.99% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 3
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 322/5 = 64.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192
回归直线
b = 192/40 = 4.8
a = 64.4 − 4.8·6 = 35.6
ŷ = 35.6 + 4.8·x
解出 x
x = (50 − 35.6)/4.8 = 3
答案
x = 3
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