描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：16, 36, 41, 21, 15, 19, 53。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值低于 76 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 10x = 76
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.25, 0.25, 0.35
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.15, 0.1, 0.1, 0.35Y = 0.5X − 3
σY =
5.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 22.4 和 38 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 22.4x2 = 38
P =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 30 个个体的样本，均值为 11，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 30x̄ = 11s = 1099%t(29) = 2.756
下限 =
8.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p = 0.5E = 0.0195%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：10 名学生，平均分 86.5，标准差 11。第 2 组：6 名学生，平均分 81.5，标准差 7。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 10x̄₁ = 86.5s₁ = 11n₂ = 6x̄₂ = 81.5s₂ = 7
t =
10.假设检验与置信区间困难
49 次测量的样本均值为 115.5。总体标准差为 12。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 115.5σ = 12n = 4999%
L =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 20Σy = 215Σx² = 90Σy² = 9415Σxy = 900
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 5x = 2.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.71
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 201/7 = 28.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−12.71)² + 7.286² + 12.29² + (−7.714)² + (−13.71)² + (−9.714)² + 24.29² = 1297
标准差
s = √(1297/6) = 14.71
答案
s = 14.71
2.描述统计
答案: P = 0.7257
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
答案
P = 0.7257
3.概率
答案: σ = 1.077
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.8
平方的均值
E(X²) = 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.25 + 16·0.35 = 9
方差
Var(X) = 9 − 2.8² = 1.16
σ = √1.16 = 1.077
答案
σ = 1.077
4.概率
答案: σY = 0.8437
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.05, Var(X) = 2.848, σX = 1.687
线性变换
σY = |0.5|·1.687 = 0.8437
答案
σY = 0.8437
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·3.05 − 3 = −1.475。
5.正态分布
答案: P = 0.7865
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (22.4 − 32)/6 = −1.6
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(−1.6) = 0.8413 − 0.0548 = 0.7865
答案
P = 0.7865
6.正态分布
答案: P = 0.9099
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34
概率
P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099
答案
P = 0.9099
7.置信区间
答案: 下限 = 5.968
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 29, t = 2.756
误差范围
E = 2.756·10/√30 = 5.032
区间
11 ± 5.032 → [5.968, 16.03]
答案
下限 = 5.968
8.置信区间
答案: n = 9604
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604
向上取整
n = 9604
答案
n = 9604
9.假设检验与置信区间
答案: t = 0.9919
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (9·11² + 5·7²)/14 = 95.29
sp = 9.761
标准误
SE = 9.761·√(1/10 + 1/6) = 5.041
检验统计量
t = (86.5 − 81.5)/5.041 = 0.9919
答案
t = 0.9919
df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: L = 111.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·12/√49 = 4.416
区间端点
L = 115.5 − 4.416 = 111.1
答案
L = 111.1
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9701
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 900 − 20·215/5 = 40
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 9415 − 215²/5 = 170
相关系数
r = 40/√(10·170) = 0.9701
答案
r = 0.9701
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 22.25
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
回归直线
b = −21/10 = −2.1
a = 21.2 − (−2.1)·3 = 27.5
ŷ = 27.5 − 2.1·x
预测
ŷ = 27.5 + (−2.1)·2.5 = 22.25
答案
ŷ = 22.25
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1