描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：25, 37, 14, 21, 32, 38。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 173 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 5x = 173
z =
3.概率中等
袋中有 7 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
7 / 9
P =
4.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.7
P =
5.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量低于 146.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 12< 146.8 kg
P =
6.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 95%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 45，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 45s = 1399%t(8) = 3.355
下限 =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.8 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p ≈ 0.8E = 0.02595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 48.53，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 48.53s = 4n = 36
t =
10.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 101。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 101σ = 12n = 3690%
U =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (10, 92)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(10, 92)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 9.496
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 167/6 = 27.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−2.833)² + 9.167² + (−13.83)² + (−6.833)² + 4.167² + 10.17² = 450.8
标准差
s = √(450.8/5) = 9.496
答案
s = 9.496
2.描述统计
答案: z = 0.6
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (173 − 170)/5 = 0.6
答案
z = 0.6
3.概率
答案: P = 0.175
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0.175
答案
P = 0.175
4.概率
答案: P = 0.003791
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.37 = 0.0002187
P(X = 1) = 7·0.7·0.36 = 0.003572
相加
P = 0.0002187 + 0.003572 = 0.003791
答案
P = 0.003791
5.正态分布
答案: P = 0.8438
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 144 kg, σT = 0.8·√12 = 2.771 kg
标准化
z = (146.8 − 144)/2.771 = 1.01
概率
P = Φ(1.01) = 0.8438
答案
P = 0.8438
6.正态分布
答案: x = 124.7 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 100 + 1.645·15 = 124.67 分
答案
x = 124.67 分
7.置信区间
答案: 下限 = 30.46
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 3.355
误差范围
E = 3.355·13/√9 = 14.54
区间
45 ± 14.54 → [30.46, 59.54]
答案
下限 = 30.46
8.置信区间
答案: n = 984
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.8·0.2/0.025² = 983.4
向上取整
n = 984
答案
n = 984
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.205
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
检验统计量
t = (48.53 − 50)/0.6667 = −2.205
答案
t = −2.205
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: U = 104.3
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·12/√36 = 3.29
区间端点
U = 101 + 3.29 = 104.3
答案
U = 104.3
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9802
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 428/6 = 71.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 330
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1619
相关系数
r = 330/√(70·1619) = 0.9802
答案
r = 0.9802
12.线性回归与相关
答案: e = −4.957
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 447/6 = 74.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393
回归直线
b = 393/70 = 5.614
a = 74.5 − 5.614·6 = 40.81
ŷ = 40.81 + 5.614·x
预测值
ŷ = 40.81 + 5.614·10 = 96.96
残差
e = 92 − 96.96 = −4.957
答案
e = −4.957
该点位于直线下方。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1